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Le point 5 correspond vers les deux direclions aux points c', c et donne par cela 
naissance à un cycle de w + 1 points. Les coniques par a, 6, a, 6 sont transforraées 
entre elles (a a, bb) et {ab' ab), correspondent à soi-niéiiies. Les coniques sont Iran- 
sformées à l'indice m + 1 , parceque plusieurs des Iransforniées de ab-\-db' ne peu- 
vent point coincider. 
Le lieu des points doubles des involutions , produites sur ces coniques, est une 
courbe d'ordre m pour m irapair et d'ordre m-\- 1 pour m pair. Dans le premier cas elle 
a en a,6,a , 6' des points — - — tuples, dans le second cas des points — tuples. Elle 
passe par les autres points doubles sur aa , 66 et par 5'. Les homographies sur aa\ 
bb' sont de l'indice 2{m-{. 1) ou d'un indice facleur de 2(7?i_|-l), mais non de m-\~ 1, 
2. a' en a , 6 en b'^ en ò , c en c\ en c. 
La caractérislique délermine un faisceau anallagmatique de cubiques dont le neu- 
vième sommet est un point doublé de Q'\ Deux points doubles de Q^se trouvent sur aa. 
D'abord je suppose, que le neuvième pivot soit situé à l'éxlérieur de la droite aa . 
Le faisceau contient deux courbes anallagmaliques , qui passent par les points , sur 
a a. En effet une seule courbe ne les contiendra à la fois sans se partager en a a et 
une conique , ce tiui est irapossible. Si l'une de ces deux courbes se décompose, la 
droite et la conique, dont la première passe par d^, ne pourront se transformer invo- 
lutivement , parcetjue la conique devrait passer par a a d^. Donc la droite contient 
b'b\b et la conique aa cc^ ^^3^4- Si la seconde courbe dolt se décomposer, une droite 
passerait par d., c'c'^c; la conique que je viens d'annoter devrait se partager en deux 
droites et d.^ tomberait sur aa. 
Il serait imaginable, que la première cubique se décomposàt en Irois droites 
rfjc'c^c, a6'6, et ab\b, dont les dernières seraient transformées involutivement entre 
elles. Mais alors on aurait un contact dés cubiques en 6^. 
La seconde cubique pourrait s'imaginer rationnelle portant une homographie qui 
aurait en d^ deux points doubles ou aucun. 
Dans le premièr cas le point doublé d^ donne un paradoxe , dans le second cas 
C3* passerait par d.^, aurait donc sept points communs avec la conique, ce qui est im- 
possible. Ces contradictions s'évanouissent, c'est vrai, devant la supposition, que C3 ait 
un rebroussement. Mais en s'appuyanl au § 7, I, on voit, que la caracléristique avec 
une conique anallagmatique, qui touche aa en rf^ , est irapossible du tout. 
3. a' en a , b' en b\ en b'^ en 6 , c' en c\ en c. 
Les neuf points déterminent un faisceau ou non. Dans le premier cas il n'y a pas 
une courbe décomposée en aa et une conique, donc les deux courbes passant par 
rf, corréspondent à soi-mémes. Le cas le plus favorable à leur décomposition serait 
celui oìi la dioite, parlie de chacune, passe par d^ ou d^. Cela entrainerait les alli- 
néalions b b' ^b\^b et d^c c,c , ce qui contredil à l'existence du faisceau. 
La première variété possible est définie par une C3* anallagmatique, accompagnée 
par les allinéalions c c ^cd^^d b' ^bd^^aH ^b' d^, qui composent la seconde cubique anal- 
lagmatique. 
Deux C\ anallagmatiques sont impossibles à cause de l'indice 18. Il faudrait que 
les cubiques du faisceau fussent transformAes à l'indice 2 et les 8 cubiques rationnelles 
restantes se parlageassent en plus d'une seule paire ce qui aurait bésoin de plus d'une 
