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§ 10. — Dépendance des caractéristiques 1 , 2 , 3 , 4 des courbes 
du 3'""" dégré. 
La recherche suivante se rapporle aux variétés avec une cubique propre anallagma- 
tique. Ni les corréspondances m' — m=y? u'-\.u~y sont capables , d'étre incluses 
en une transformation périodique; voir § 4, II. Restent les cubiques harnioniques, équi- 
anharmoniques et à rébroussement. 
I. Quelques tram formati ons de la classe a' en a , b' en b , c' en c\. . . en c. 
Coiiràe harmonique. 1. a' en o, è' en è , c en c. Trois paires quelconques du § 4, 
II, a, combinées donnent la condition 
3Y^ + yA, = -3Y où 3eY=0. 
Il en dérive a-i-è-|-c=0 et deviendrait une homographie. Cela s'accorde avec 
le résullat du § 2, que la transformation a' en a, &' en b , c en c ne possède aucune 
courbe harmonique anallagmatique. 
2. a' en a , è' en & , c en c, en c. Indice 8. Choisissant deux paires du § 4, II, «, ap- 
parlenant au méme point doublé , on a la condition 
ce qui donne 3eY— 0, ou, en ajoulant l'aulre paire du § 4, II, 
T^ + T^ + ^^ + T(2^-1)^-3t, 
ce qui donne ^^~-^{k^ — k^. Le point c'i= — y(1 +0 ^st idéntique à — (a-[-è), 
donc a è et a è' se coupent en c'^ sur C3; c et c sont idéntiques à cause de la valeur de y 
et la transformation ne se range pas proprement sous celle caractéristique. Cf. § 26. 
En choisissant deux paires du § 4, II, «, appartenanl à des points doubles diffé- 
rents on a deux cas à distinguer: 
d — y"^ , 6'=Y^^ + ^-^i ' c'e=y(22-1) , 
demande 3y^ ^ k^. Puisque c c'iC sont alignés, on tombe dans une transformation 
du§7,2.En effet, afin qu'il n'y ait pas cinq points doubles, il fautque ad,bb\ ce' con - 
courent en un point, qui sera le troisième point doublé de Q''. La conique ah i^^d bi^ 
{il, li ótant la paire involutive) louche cc\c en un aulre point doublé de Q\ — Il y a 
deux faisceaux remarquables de cubiques passant par la caractéristique. L'un passe 
par les deux derniers points doubles, l'autre par ij^. L'un contieni aa'rf, ~\- hb'd^-\- 
c c\c, l'aulre cc\c-\- {bd i^) -\-{ab' i^ comme seconde cubique anallagmalique. Les in- 
(lices entre Ics cubiqties sont 8. — Un troisième faisceau anallagmalique est constitué 
