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Les quatre autres points de (A), qui sont alignés deux à deux avec b\, forment 
un cycle de la corréspondance contenue dans Q^. De là incidemment la conclusion: 
Des trois droites passant par un poinl d'une (A) sur , deux cerlaines et l'autre avec 
la tangente forment deux paires d'une involution, dont un rayon doublé est la tangente 
appartenant au triple tangentiel. 
Farmi (A)~ on a un point doublé, le quadruple cc\c ,(a'6', ab) et a, a avec les 
points de rencontre de 6' e, bc avec C;, forment un autre quadruple. 
4. Les huit points de la caractéristique déterminent la base d'un faisceau de cu- 
biques, dont le neuvième pivot est 
donc en tous cas d^. Le faisceau est anallagmatique. Une cubique anallagmatique est 
6 b\ b + (c c', ed ady. À cause des alinéations bc\ c', b\ cc\ b' cc\ on a les cubiques 
b'cc\ -{- {da cb'b\ d>i^, b\ ce ~{- {d ac\ b' b d^) , bc\ c + {da cb\ b d^ qui par sont per- 
mutées entre elles. Donc: 
La périodicité entre les cubiques du faisceau a l'indice 3. 
Par conséquent chaque cubique porte une périodicité d'indice 4 entre les points et 
leurs troisièmes Iransformés. Celle corréspondance doit donc étre de l'espèce u — iu~f. 
Donc : 
Toutes les cubiques du faisceau sont harmoniques. 
Je fais noter ce résultat imporlant, qu'ici incidemment on trouve un faisceau an- 
core inconnu, doni toutes les cubiques ont le méme rapport i des périodes. 
5. Gomme je viens de déraontrer dans le g 9 , 2 , {da ce ^ c d^ touche la droite 
6 6'j6 et j'éclairerai ci-bas que cela représente trois courbes rationnelles. Or en suppo- 
sanl les trois courbes Cj + ^^douées de deux points doubles , trois courbes rationnel- 
les resteraienl formant un cycle. Pour la troisième répétilion (C^) les trois points dou- 
bles r corréspondraienl à soi-mémes. L'homographie sur a les voisins de r cu de 
deux coincidences ou d'une paire involutive. 
Le premier cas fournirait trois points doubles de l'homographie et par conséquent 
une infinilé de triples pèriodiques et 6 6 ,6 en serali un, ce qui est impossible. L'autre 
cas entraìnerait une infinilé de sextuples pèriodiques. Chaque courbe donne une de ces 
sexluples, qui engendrent une courbe du quatrième dégré. 11 y a au surplus une droite 
remplie de triples. La sixième transformation (cf, § 3.) devrait posséder une courbe au 
moins du 13* ordre lieu de points doubles, ce qui est impossible. 
Ainsi je conclus, que les trois courbes décomposées remplacent 9 courbes ra- 
tionnelles; donc: 
Le quadrilatère h'h\ b c o', c et le triangle a'ad^, qui sont circonscrits à la méme co- 
nique. ont ielle position, que chacune des quatre coniques par a'ad4, qui contiennent un 
triangle du quadrilatère est tangente à son quatrième còtó. 
Je supprime l'énoncé explicile de la manière, de choisir les sommets d'un pa- 
reli faisceau sur C^. On la reconnaitra facilement des numéros précédents. J'ajoule la 
rémarque que la base déterminée par ces paramètres n'est pas la plus générale sur C^. 
