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PP' et PjPa^^Pj soni des poinls successifs dans la conéspondance . qui soni étrnngers 
à la caracléristi(iue. 
Quelqu'unes des 80 alinéalions soni rémarquables: 
b\ , C , {a + 6') ; b'^ , c , (a b) ; b\ , b' , h\ ; b\ , b' , b\ ; b\ , a\ a ; 
b\ , a , a ; b'^ , (b + c) , {b' + e) ; 
y,a',C';y,a,c;y,b\,^';p, b\ , 
Courbe à rébroussement. 
Voir§34. 
§ 11. — Les caractéristiques, qui sont dérivées de à en a, b enc, c en b 
par des intercalations. 
I. b' en c , e en b , a en . , . , a',^ a. Indice 2m + 1- 
Je démonlrerai, que des douéiis de cefcle caraclérislique , inalgré les Iransfor- 
mations succéssives donnent la méme sèrie Gnie que 1. du g 3, n'existent pas. 
Le faisceau de coniques aa bb' esl anaiiaymalique. La droile aa' se transforme 
successivemenl en a'6 , h'h , ba ^ aà , et revienl à ellc-méme après qualre applica- 
lions de les coniques aa , bb et a& , ab sont donc Iransforinées involulivement en- 
Ire elles. Le faisceau est partagé en paires involutives et la conique ab ^ ab doil se 
changer vers les deux directions dans la méme conique par c', c. Donc aòc , àbc soni 
dans une conique. Les iransfortnés successifs enlre c et c devruient loraber sur les 
dioiles ab el ab'. Mais le iransformé de c vers le second syslème ne peut se trouver 
sur àb\ parceque les points de ab' viennent à c, parlanl le Iransformé de c devrait 
élre sur ab. Mais lous les poinls se Iransformenl vers le second syslème en c' et n'ar- 
rivenl donc jamais à c. Une {lériodicilé ne peut donc enlrer du toul el elle est méme 
irapossible, quand on prend c sur a b et c sur ab. Cf. § 32. 
II. a- en a , b' en c , e' en c\ en b. Indice 9. 
La conique b' ccc^b est anallagmatique. Elle ne peut renconlrer la droile aa' en 
une paire involutive, car ad serait alors une seconde paire el àbc seraienl alignés. 
Elle ne la peut renconlrer non plus en deux poinls doubles , (/.^-Chacun d'eux deler- 
minerait avec la caraclérislique un faisceau d'un contact commun en rf. ; ad + C.^ y 
complant pour deux courbes ralionnelles, en reslenl 10 el à raison de l'indice 9 une au- 
tre cubique rationnelle serait anallagmatique, qui devrait posséder un poinl doublé, 
doni les voisins soni invariables. Ce poinl doublé d. determinerait un autre faisceau 
anallagmatique d'un contact commun en dj et la tangente coramune devrait étie une 
des langentes de C\ en t/^., ce qui est paradoxe. 
Un raisonnement analogue à celui du § 6 prouvc de méme, que aa' el C.^ n'ont 
pas en commun deux points doubles. Je vais l'exposer ici. 
L'indice dans ne peut pas élre 3. Aulremenl C2 serait tangente à aò, de en c . 
Les langentes de produiraienl sur ad une homographie, ou da soni sépaiés par 
un Iransformé, le poinl d'iniérsection avec tangente en c^. D'aulre pari 6'a et ca 
devrait se renconlrer sur C, et si l'on projelle ad de ce poinl sur C.^, on aurail mie 
