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Par là 
5 (e- — e)Y = 0 ou x = 
{2n — m) k^ — (2m — n) k. 
15 
et 
2 (m — w) fc, + (2 m + n) 
15 
+ P 
^1 — 
3 
La caracléristique est donc 
a 
Ss — 1 
— 1 
T 
2£ — 4 
Y , c 
2 
• 1 
3£ — 2£^ 
£^-1 
T- 
Paramètres sur C^. Voir § 34. 
§ 14. — La caractéristique illusoire à en ^, 6' en c, c' en c', en c\ en a. 
Quoique dans le § 3 j'aie établi le tableau des transformations successives qui re- 
viennent à l' homographie, je démontrerai mainlenant, qu'un lei enchaìnement des 
points principaux est du tout inconslructible. La vraie cause de cette circonstance est 
celle que les deux transitions a en &, 6 en c amènent nécessairement la troisièrae 
c en a. Mais c'est un des nouveaux et singuliers problèmes, suggérés par notre objet, 
que d'éclairer dans ce cas l'existence du tableau limitò. 
L'apparilion de la Q,^ à la suite des répélitions, c'esl-à-dire la nature de la ca- 
racléristique empéche toute alinéation entre les 8 points. De plus quelques alinéations 
seraient aussi contradictoires à l'enchaìnement voulu. 
Les 8 points soni donc la base d'un faisceau F, doni le 9'^"*'' sommet serali un 
point doublé d^. La courbe anallagmalique ne peut pas dégénerer, parceque droite et 
conique invariables n'existent pas et que d'autre pari l'ensemble devrait passer pard,, 
sans y avoir un point doublé. Une C^* n'est pas anallagmalique, car sa correspondance 
ne peut pas élre une involution, en vertu de c en c\ en c\ en a, ni peut avoir les voisins 
de comme doubles, parceque un point invariable déjà exisle sur elle. Quand on au- 
rait une ou deux courbes C^^, les 10 ou 8 courbes rationnelles restanles devraient se 
partager par l'indice 2. L'indice 9 à un point doublé n'exisle pas sur une C^. llestent 
3 ou 4 comme indice de F. Toules les C3 seraient équianharmoniques; invariable 
avec u — £ M = r n'existe pas à cause de c en c\ en c'^ en a; C« avec u-\-z u~x ni plus 
à cause du calcul fait au § 12, n. 10. Donc toules les hypothèses s'écartent comme 
inadmissibles. 
Remarque. Les différentes considérations , qui m'ont servi dans les paragraphes 
précédents pour démonlrer l'existence des courbes anallagmaliques du 2*^ ou 3'*'"® or- 
dre, jouent un róle plus élévé que celui d'éclairer et de préciser la nature des transfor- 
mations. En méme temps qu'elles vérifienl l'existence des transformations, elles ac/iè- 
vent la démonslration de leur périodicité. Car si le tableau de la caracléristique finii 
par l'homographie, l'existence d'une cubique ou d'une conique rcmplie de groupes pé- 
riodiques en démonlre la périodicilc. Comme dans lous les cas Irailés l'indice sur la 
courbe est facteur de l'indice de la caracléristique, l'homographie ellc-méme est dejà 
une identilé. 
