- 100 - 
La courbe lieu des groupes à m + 1 pomts est du ( m -f- 2 )'^'"« orrfre, a (ce') pour 
point m tuple et est tangente dans tous les autres points de la caracléristique aux droites 
dirigées vers c. La paire involutive de Q- est contenue sur la courbe ou non, selon que 
m 4- 1 est pair ou impair. 
Les 2 droites fixes par c portent de? homographies périodiques de l' indice 2 «1+2 
ou d'un indice facleur de 2m+2, mais non de + Leurs 4 poinls doubles sont sur 
C *). 
5. m—\. Une homographie Iransforme c en c', a' en a en a', 6' en b en b. Dono les 
paires ca', ca; cb\ cb formentune involution , dont un rayon doublé passe en (aa^b b). 
La courbe des paires involutives est une C^, qui touche ca', ca, cb', cb en a',a, b',b et 
contient les points (ab,b'b), (a b ,ab'), (a'b',ab). Les langentes dans les points doubles 
passent par {ab, ab). Les paramètres sur C,^ se trouvent par 6=y — a, 6= — 3Y-fa',a 
= 4Y_a'^a'= — 6Y + tt', d'où 6y^0. Ensuite c= — y+ P et 2a'=Y— P- Donc(a'a,6&) 
est un point d' inflexion de et le point tangentiel de c. Cela donne cette construction 
de la caracléristique : 
Tircz d'un point d" inflexion d'une courbe harmonique une tangente et de son point 
de contact c les 4 tangentes^ désignez leurs points de contact par a', a, b', b de fagon 
que a' a , b'b passent par le point d' inflexion et vous aurez une caractéristique (ce) , a en 
b , h' en a. 
Pour donnée il y a 9. 3, 2. telles caractéristiques. 
Les autres Cg anallagmatiques sont harmoniques avec u — iu~y. 
b=ia-\-y , V = — oì — 2)y , o. = — — 22Y , aL=d . 
Étant c = — y(1+0ou-y(14-O + «1 s'ensuit 3 ( 1 - z) y^ -^^^ ou 
3(1 _,)y=0. 
On doit donc prendre y^= -f-w/..^ ^ ^Xov^ le choix de d est arbitraire. J'en tire 
ce théorème. 
Tout quadruple du pian forme avec la caractéristique la base d'un faisceau F. Les 
deux courbes fixes du faisceau sont harmoniques. 
/n=2. Une horaographie possède à^ en a'^, c en c et a en à en b en 6 . Le lieu 
des triples périodiques est ici une courbe par c^. Une Cg anallagnoatique est équian- 
harmonique avec u'+em—y- Elle passe par un point doublé et touche là la droite vers 
c. Les paramètres sur donnée se calculent ainsi: 
= — ea' + Y, &^s^a' + (l — e)Y , 6' = — a' + (2£'— 1)y , = -f- (e — 1)y , 
a = — e^a' — 2£-y , à = à . 
Etant c=2Ye, il subsisle identiquement d -\-b'-\-c= — 3y. Donc: 
Sur une courbe équianharmonique on peut prendre arhitrairement u'-|-£U=y c< 
alors ancore arhitrairement le point a'. Il y a os^ des caractéristiques en discours pour C_, 
donnée. 
La paire involutive de Q* forme ensemble à la caractéristique la base d'un fai- 
sceau F. Il est important, qu'on peut reconnaìtre ici décidemment, quun rayon doublé 
par c porte une homographie d'indice 2, Cautre une homographie d'indice G. 
*) Celle classe de transfijrniations parait mériter une recherche plus approfondie. Voir aus3i la IV. partie. 
