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Q 
Mais Y ne devant pasélre= — ,il faul que m — n, m + n, soient impairs et les y 
admissibles soni 
kt + Jc^ Z:,+3/.3 Z:i-t-5A-3 S/t-. + ^-p 3Z;,4-3A :, 37>;t+5/.-a 5Z.-^4-/.-, 5Z;i + 3^-, 5A-i+5A;^ 
6'6'6'6'6' G'6'6'6 
• 1111- y(1-t-0 }nA,4-MA', ^ 
Alors un point doublé devient — = ■ — -~ , ou m etn sont incongruenls 
mod. 2. Donc chacune des 9 correspondances a un point d'inflexion cornine cenire, celui- 
ci avec son harmoniquement conjugué cornine paire involutive et les deux autres conju- 
gués camme points doubles. 
Cai-actéristique. La condition a'+^ + c'^ — S^Y^onne b{i — 1 ) + ^^ — ^^y+P^O, 
(3« — rn)k, — {3m-]-n)k, . , l6n-\-5m)k. — (6m — 5n)kg , pi 
OU c = '—'^ ^^-^ +P, (a &) = — ^ '-^ + ÌZT^-' ^ — 
(2w — 3n)A-, + (2n + 3m)7.-, , p _ {3n-\-m)Jc.~(3m—n)l;, , , ,_ 
7C= — +P, b = 
~ 12 2 — 1 12 
_( 2m + 3«)Z-, + (2n — 3m)Z-, , p ■ mJc^ -\-nl\ , pi 
Ensuite on voit, qu' il y a pour chaque correspondance 4. 2. Q', pour une don- 
née y a-t-il donc 9. 4. 2=7 2 Q-*). 
3. L'inlérét principal de cette se raltache aux honiographies exislant entre la 
caracléristique. lei j' inlroduirai une mélhode nouvelie et feconde pour les établir. Les 
paramètres de ci-haut définissent la correspondance d — ia= — 2y de fagon qu'un 
point d'inflexion et son barmoniquement conjugué en sont les points doubles. Une 
Ielle correspondance est renfermée par une bomograpbie périodique d'indice 4, trou- 
vée au § 3 de la l^'''^ partie. Cette remarque conduit à une grande sèrie de propriétés. 
Une homographie conduit b en a en a' en a en b et i, en i^ , i, en i^, c en c . Le point 
doublé dj à Vexlérieur de ce forme ensemble à un autre sur ce une paire involutive de T. 
La droile ih^K passe par i^ sur aa'^ . Le point a tombe sur (c'b, ca ) et est aussi con- 
tenu dans C^. 
Le point d.j est dans la droite par (be', aa) et (ba, ca ). 
Le point d' intersection de a a et a b, cest un point d'inflexion de C^est le point i,. 
Les deinicrs résnltals se trouvent par l'application de rhoniogra|)bie en discours. 
J'applique celle-ci invcrsément après la Q" et j' obtiens une transformation quadrati- 
quc involutive aux points principaux abc et avec i^ en Z^, rf, en rf^, a\ en *. Or de la 
Iransilion « en a\ je conclus, que par T (ca, a\c) correspond à a\ et que ca\ est con- 
duile en ca\ et ba'i en ca , partant: V homographie conduit c en (ab, a'a'J; en (aa', ba'i) 
en c. Les droiles c (a b, a'a'i); c' (a a', ba); (ac, c a',) (b e', ca\) passent par i^. Enfin 
c (ab, aa , ) et c(a a', ba',) se coupcnt en dj et la droite (ab, a' a',) (a a', ba',) passe par ó^. 
On pcut facilement au raoyen de ces données construire la caracléristique, quand 
a h rt'o', et « soni donnés. 
*) Ce tit-rail un nouveau problème que ile poursuivre la relation de ces 72 avec les 72 du § 10, 1. 
