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4. J'ajoule quelques aulres homographies : ben aen a en c en e en a'^ et l'autre d en 
fl en 6 en c en c en a\. Par appliciilion de la première et de la seconde en sens récipro- 
que résulte utie hoìnographie périodique b en a en c'en c en &, n^. Par là je conclus de 
méme que aa'^, a 6, c c' se coupent en un point d^. La droile ce est touchée en par 
une conique du faisceau anallagraalique. 
possède a conime doublé et ad^ corame paire involutive, d'où la conclusion 
que les deux homographies menlionnées soni périodiques à l'indice 6. 
Enfin l'homographie è en a en d en d en d^ et c en e existe pour m quelconque. 
Je me rapporto ensuite à un théorème, que je démontrerai III. partie, § 1, d'où 
il s'ensuit: 
// exisle line homograp/iie périodique, qui conduil h' en c en a\ en c en b et a en h. 
Elle a le point doublé d^ et la droile doublé a b. 
Ces troia homographies d'indice 4 permetlent des combinaisons et permettent 
ainsi à trouver de nouveaux résultats. P. e. 6c, de se coupent sur aa\, cette propriété 
transformée par la 3'*"® homographie apprend la construction des transformés de d b. 
Tirez a'a'j jusqu'à l' intersection avec ce' et joignez le point de rencontre avec {ab) et 
en second lieu tirez bd^ jusqu'à l' intersection avec ce et joignez le point de rencontre 
avec {ah) ces deux droites coupent db daris les deux transformés etc. 
rn=4. Indice iO. Le lieu des cycles 5 ponctuels est {U^a^d'd^). Il est aisé de 
démonlrer qu' une Cg (p— 1) anallagmatique n'existe pas. 
Toutefois remarquons, qu' il y a une couple involutive propre, par laquelle passe 
au moins une C3 anallagmatique. Celle-ci n'a pas dono p=l, nip=0, parceque 
ne possède pas 00^ paires involutives, elle doit se décomposer, savoir cc^c sont ali- 
gnés. Cette droile contient deux points doubles et un d' eux est (a'6, aa'^), puisque 
autrement cc\c porterait une involution. Or le troisième point doublé d^ détermine un 
faisceau F, dont les courbes s'y touchent et il y a une C3', qui a un rebroussement en 
rfs. Ce faisceau contieni aussi c c\c-\-[ad al^bd^) et six Q-^\ De là je conclus inversè- 
ment, que ij^ ne déterrainr; pas un faisceau anallagmatique, Les indices de la conique 
fixe, de la C3* fixe et de l'homographie dans c'c\c sont 10. 
m = 5. Indice i^. Envisageons de nouveau la couple involutive propre qui doit exi- 
sler. Si la caracléristique est la base d'un faisceau propre l'indice de celui-ci ne sera 
pas 2. Le O'^"^ sommet de la base est donc nécessairement (aa, , db) et la courbe, 
dont aa\ fait parile, contient aussi db. La troisième droite sera c c\ c ^c. Le faisceau 
propre n'existe donc pas et aa\ , db se coupent en un point doublé sur c'c\ e, e. 
m — ^. Indice U. Une courbe C3 anallagmatique à p= 1 est impossible. La C3 dé- 
terminée par la caracléristique sera donc ou une C3' ou a\c\e'3+ {db'cbccj ou cc\ 
c c c + C par ad d b. Le cas de C ' sera répris au § 34, les deux autres admeltent 
un traitement par la méthode du § 6. 
1 17.— Application des principes de l'encliaìnement des points fondamentaux 
et des transformations successives. 
La coincidence (afe) donne lieu à d' autres caractéristiques à tableaux fermés, que 
je vais élablir. 
*) Pour chacune de ces transformations particulières esiste une foule d'autres proppiétés, qui sont une consóquence 
de celles Jécrites dans le texte. 
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