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4. Transpositions. 1. «' eii p (abà) donne A'A, AB, ^\C\ acconplés, A' en C en 
C'^ , A'j en C en B, la caractéristique proposéo. 
2. et' en p (aaV,) donne A'A , CB, C' A' accouplés, C en A', en A, C en C'^ en B, 
la mérae caracléristique. 
3. «' en p (aa'rf) donne AA',BA', , DC accouplés, A' en A enCenD,C'en 
C, en B. g 11. in. 1. ou 2. variété, selon que i=l ou 2 , 3 (voir n. 5 de ce §). 
5. Recherche des Cj et F. La droile a\ c\ est transformée involutivement en la co- 
nique cicchi) et forme avec celle conique une du réseau déterminé par la caraclé- 
ristique. 
et a'j c'j ne se coupent pas en une couple involutive. Car il y a alors à l'exlérieur 
de a'j Cj et un poinl doublé de Q% qui avec la caracléristique forme la base d'un 
faisceau F, dont le 9'*'°® sommet est doublé pour et évideiument n'esl pas contenu 
sur a'i c^. L'indice de F est donc 2 et il serail bésoin, qu'entre les points de c', -\-Q>^ 
exisle une involulion. La chaìne a'^ , c,a b monlre, que cela n'a pas lieu. 
et a\ c\ ne se coupent pas en deux. points doubles. Car les direclions de cha- 
cun d'eux seraient en involulion et pai ticulièreraent les rayons vers aà, bb\ oc ce qui 
a seulement lieu, si db passe par les deux points doubles, cas inadmissible. 
De là je conclus: C et a' c se touchent en 'un point doublé à^ de et elles contien- 
nent ensemble la paire involutive i.^ , soit a^c'^ le point i^ , C.2 le point 
La caracléristique délerinine avec d^ la base d'un faisceau F, dont les C3 se tou- 
chent le long de la seconde direction fixe de d^. Examinons la seconde cubiqiie inva- 
riable de ce faisceau. 
I. Elle ne peut pas se décomposer, parceque la droile, qui lei ne sera pa> anal- 
lagmalique, contiendrait évidemment rf, , d'où pour toufes les C3 du faisceau résulte- 
rait un point doublé en d^. 
II. Elle ne peut pas étre rationnelle, parceque le rebroussement (point doublé 
est à rejeter comnie précédemment) est alors un point d^ de Q\ Afin que l'indice de 
F ne soit pas 1 , le troisième point doublé doil coincider avec d^. 
Or complète avec la caracléristique la base d'un autre F, dont le 9'*"^ sommet 
est nécessairemenl d^. Donc loutes ses C3 se touchent en d^ et une C3 invariable est la 
Cg^ supposée. La seconde C3 fixe ne peut pas se décomposer, le cas de conique et 
droile involutivement liées se Irouvant seulement une fois, elle n'esl pas ralionnellc, 
parceque le point doublé serali un troisième d de Q^ Analoguément il s'ensiiit, quelle 
n'est pas harmonique avec u — ^u = r) d\ équianharmonique avec u — eu — y. Reste 
le cas d'une avec u'-feM = Y- Celle courbe coupé a'iC',-f cerlainement dans la 
pairè involutive. Les cubiques du premier faisceau coupent donc en des paires de 
points alignées avec le centro de convergence et Iransformées donc à l'indice 3. Les 
C3 du premier F devraient porter l'indice 4, seraient donc toutes harmoniques ce qui 
est contradictoire à l'existence de la supposée. 
Pa ra mè l res pou r u' + e u = Y : — ^ « — 2 r , a', = e' a + (s — e') r > — « + ( - — e'' 'T , 
c'=ea-|-(e^ — e)T, c\= — e^a-f e^Yi l' impossibililé de u'-feu=Y t'ans celle 
Q"^ est vérifiée. 
III. La courbe disculée sub I. et li. n'est pas harmonique. Car elle devrait con- 
tenir oulre d^ un point doublé d^ de Q". Comme rf^ et rf, sont contangenliels sur C^ 
il y a un faisceau F d'un coniaci commun en d^ avec C^. La seconde cubique fixe de 
