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La 1 ério(.lici(é de la caractéristique ne peut entrar qu'après 2m + 2 applications 
et l'existence d'une certaine courbe analiagmatique, que je vais démonlrer, la vérifie 
complètement. Les droites c(a' . . . b) forment un cycle d'une homograpbie, où ca est 
droite doublé. Tous les rayons par c portenl des involutions entre leurs poinls et les 
(m-f-1) Iransformés , dont les points doubles donnent lieu à des groupes périodiques 
de (m+ l) points. 
Pour m impair *)' le lieu des groupes [m -{-\) poncluels est une courbe de f ordre 
— 2 — , qui touche en a . . . b les droites c (a . . . b) et passe — foìs par c. Elle passe 
simplemenl par (ab). 
w-4-4 . m 
Pour m pair ce lieu est de l' ordre — ~ à point — tuple en c. La courbe touche les 
droites c(b . . . a) en b, . . . a' de méme ca en a **). 
2. Les cas spéciaux m = 2 , m = 3 méritent une considération particulière. 
m=2. La courbe-lieu est de l' ordre 3 et parceque à coté de ca trois autres tan- 
gentes passent de c à C3 , qui forment un triple cyclique , dont le covariant hessien con- 
tient ca, la courbe est équianharmonique avec li — eu=T. Du reste cette transforma- 
tion est équivalente à celle du § 2, dont elle. offre la forme la plus simple. 
w • , . V. , e' — 4£ , 4(1— 
La caractéristique est determinee par les parametres a = — - — T,aj= — g — -y 
b~ — g— T , a= -^^ — ~ T , ou 6t = 0 . 
m=S. La courbe-lieu est de l' ordre 3 et les 4 langentes de c formant un quadru- 
ple périodique , la C3 est harmonique. Elle doit contenir une correspondance à deux 
points doubles alignés avec c. 
En effet, u' — 2 tt = t étant la correspondance, ^^'^^'^ , ^^^'^^^ ^" "9" ( '^'i + ^'2) 
sont les deux points doubles. Ils sont alignés avec ^t(1 + 0+ "5- ( ^'i + et les 4 
tangentes sortanl de celui-ci touchent en 
1 ('•+!) + j a-.+^g . j ('+1) + 1 -/.-.) , I ('-hi) - \ , 2 (^-+1)- 1 (k-h) 
qui forment en effet dans cet ordre un groupe périodique de la correspondance. 
5(1-1-0 , òi+l 
La carac(éristi(|ue est déterminée par Ics parametres a= ^ — T, a = 
1 -\- i , "'Ì-\-\ , i — 5 ^ O.- 1 l\ A 
a. = -^T, -g— Y, 6=-— T, ou 3(?-f I)T=0. 
3. La caractéristique en discours est une de celles, où on pout récourir directe- 
*i Dans la -lièm'? parile la vraie nature de cette distinction entre »n pair et impair sera mise en jour. 
**) Relativement aux transforraations du tableau j'ai ordonné les lettres do manière, que deux caractéristiques sy- 
métriques à la caractéristique de milieu possèdent un ordre des lettres, qui corresponJ à la conjonction dos points fonda- 
mentaux dans la transformation respective. 
Toutes les transformations sont de Jonquières et je considère deux points fondamentaux comme accoupl^s, si l'un est 
incident avec la droite fondamentale appartenant à l'autre. Seulement dans la transformation quadratique un point fonda- 
mental est accoupié avec celai, par lequel sa droite fondamentale ne passe pas. _ 
Atti — Yol. I , Serie P."-N.° 7. 
