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meni à la lliéorie des réseaux de ti\insformations quadraliques. Car ici la variabililé 
J'un seuI iioinl , déterminant la figure de la caraclérislique, sufBt poiir amener la pé- 
riod;cilé ile Q*. Je me pose donc le probième suivant: 
Problème : Soienl les i poinls (ce), (ab), a, b. On considère abc, ab c' comma 
Iriatìgles principaux d'une Q^, à la détermination de laqueìle il faut et il sufjil encore de 
connaitre le poinl a^. En mouvant sur le pian, on obtieni un ré<em de Q' et dans cha- 
cune possedè a un cerlain trans f or mé a ,„. Il est demandé de rechercher Vaffinité en- 
tre a'j et a'^ et de conslruire les poinls a'^ , qui jettent a'„ sur b. 
aj a\ — a\. Les deux faisceaux direclifs 6, b' engendrenl dans chaque transfor- 
inalion du réseau une conique qui contieni b, b \ le poinl d' inlerseclion {bc , b'à) et 
touche en b' la droile b e'. Car les rayons b{c^ a, a) correspondent aux rayons b'(a, c', a\). 
Toutes ces Aj formeiU un faisceau. Les deux paires de droiles 6a , b' a et bc, be' queje 
désignerai par A'^, A'^ apparaissent, si a 6 correspond à a b cu c b respeclivenient. 
Si « 4 varie sur une droile par b , A^ re>l'^ constante. Réciproquement si soriani 
des a' on fait l' inlerseclion de A^ avec a\b' en A,, la droile W?, conliendra nécessaire- 
meni un point a i , doni le Iransforujé a., est situé dans la droile R — a\b. Ce poinl dé- 
crit, pendant que Aj varie, le produit des deux faisceaux homographiques hi b et A., 6, 
une conique B, en nomnianl le poinl de rencontre de a' 6 et A^. Pour A'^ le poinl 
/ij tombe en 6- et b sur baji^ sur a', donc ba et b'a se correspondent. Pour A tombe 
hi sur bc et b coincide avec bc , avec («c, db) et h b avec. ac , donc bc et bc se 
correspondent. La conique B touche b a en b et contieni c. 
Les poinls Vìi h.^ se réunissent en {db, R) et B passe donc par ce point. Quand K 
coincide avec b'b, \ est la conique, qui louche a 6 en 6. 
Si ensuite ed après deux Iransfurmations doit venir en c6, on peni disposer de 
deux rayons par c, doni chacun forme avec c'a, c b un triple, pour qui cb entre dans 
le Hessien. Donc Ics deux droites cherchées constiluent le cuvariant Hessien du triple 
c'[d ab). On trouve par l' inlerseclion de ces droites avec une des coniques qui touchent 
en deux des poinls a db les cólés adjacents et passenl par c', les deux poinls, qui 
complèlent avec c' un triple conjugué par rapport à adb. Parlanl: 
Les points a ^ , qui font coincider a'^ avec b , soni les deux points qui rapprochés avec 
c forment un triple conjugué par rapport à a a b. 
Une homographie exisle, qui possède a, c comme doubles et bad comme triple 
périodique *). 
Enfin le réseau des courbes reste à déQnir , qui dans l'affinilé a, — d^ correspon- 
dent c«ux droites de d^. Ce réseau peul élre constitué au moi/en des cubiques b'c'+ a b+ca ; 
e' a'+ab + bc ; a'b'+bc + ca. // contieni donc les cubiques T3 par c""ba et avec un con- 
taci en a avec ab. L'affinilé a , — a ^ est 2,1. 
bj Ui — rt'3. Je fais varier dz sur une droile R par 6 . Si A^ coupé R en /I3 , alors 
bh^ conliendra néccssairement des poinls «, , pour lesquels les d^ soni contenus dans 
R. La C3 qui correspond à 6/13 selon l'affinilé aJ contieni les a', respectifs, qui toutefois 
se liouvenl aussi sur h^ 6', où /t, est {db,l^). La variation de A^ produil ainsi deux fai- 
sceiiux homographiques \ b'el C^, qui engendrenl une courbe du 4'*""' dogré B, . Pour 
devient h^b = ba, auquel correspond une cubique B^-\-ac; en méme leraps devient 
*) Par comparaÌ8on avec n. 2 on en conclùt un théorème sur les cubiques équianharmoniques. 
