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Les coniques a' a c' c d, , a' a c' c do touchent en d^ , d., les droites a'^ d, , a'^ d^ et 
a'j dj + , a'j d, a., sont deux courbes anallagmaliques. 
L'homographie périodique enlre les deux parties a l'indice 8. En effet l'indice 2 
est inadmissible à raison de a'a'^c, l'indice 4 parceque le deuxième transforraé de c, 
le point d'interseclion de A avec a a\ toniberait sur a et que ce contact par la Q'' mé- 
me se changerail en le passage de A par (a a, c e), conclusion à rejeter, 
Les poinis et leurs deuxièraes transforinés sont dans les deux droites comme dans 
les deux coniques liés par une bomographie de T indice 4. Celle de a\ a deux points 
doubles, doni l'un est d^ et l'autre a ses deux transformés coincidenls sur a,. Celui-ci 
entre donc en une paire involutive, je le désigne par son transformé sur Aj par i^. 
Il convieni de remarquer, que plus d'une seule j)aire involutive n'existe pas ici, at- 
lendu que droile ou conique invariable sont en contradiclion avec la caractéristique et 
qu'une cubique reniplie de paires involutives ferait idenlique la seconde Q'\ De là on 
conclùt 5^116 a'j d^ passe par i^ et par i^. Mais a'^ d^ et A^ se rencontrent déjà en , 
l'atitre point d'interseclion devrait se cbaiiger de pari et d'aulre en (a'^ f/^, a,) et con- 
stituerail ainsi une nou velie paire involutive. Par conséquent: 
Les droites a'^d^, a ^d^ sont deux langentes communes des deux coniques a,, Aj, 
les touche resp. en d^, ii, et a^d^ les fouche en i^, d^ *). 
Or je me propose de conslruire indépendamment des raisonneraents précédents 
une cubique anallagmalique. 
Le lieu des tangentes menées de ò \ aux A est évidemment une pareille cubique. Elle 
passe par a ac'c^ y ayant les tangentes a a\, «fl'j, e a'i , ca\ , et par a'i. En se rappelant 
l'homographie périodique de l'indice 4, que nous venons d'élablii-, on volt que a^a\a'^c 
sont séparées harmoniquemenl par a\ a, a\c , donc la dite cubique est harmo7iique ^ C^. 
Elie passe par (a a, ce), (a'c, ac), (a'c^ac). Ces points servent à conslituer deux 
quadruples périodiques sur de la manière suivante: a' a\ e (a a, ce) ; a {a c ^ ac) c 
(aV, ac). La correspondance sur deux fois appliquée donne par conséquent une in- 
volution où 4 paires soni alignées avec {a c , ac) et doit elre u — i u=Y«y^i"^ (a c , ac) 
comme ventre de convergence. Elle contieni rf^f/j et i^i^. Ceci donne encore le résultat, 
que djd^, i^'i^ passenl par (a'c, a e). Le point (ac, ac) est point d'inflexion pour C^. 
Les faisceaux F. La base d'un premier F, est constiluée par ij^ et le contact en 
avec C^. Car i^ et la tangente en rencontrenl en deux poinis alignés avec a', 
savoir dans la G'^""" inlersection de C avec (àacca)^. 
h ^ 1 / 
Une correspondance de l'indice 8 à point doublé étanl impossible sur C3, l'indice 
de F. n'esl pas 1; une infinité de paires involutives élant inadmissible, l'indice n'est 
pas 2. L'indice 4 est à rejeler, parceque la correspondance sur C3 devenant u'-f-«=T» 
le point de renconlre de i^i^ et de la langenle en d, serail pour toules les C3 le centra 
de convergence, sans élre un point base. Donc: 
Enlre les C3 du faisceau constitué par C,, et par a, cxisle une périodicité à 
l'indice 8. De méme da7ìs le faisceau constitué par et Aj-f-Ji , d^. Un F3 est composé par 
a,rf, + A, et a, f/^+Aj. Toules ses cubiques se touchent en i^i^ en ayant là a\d^ , a\d^ 
pour tangentes. Les coupent en des paires de poinis, (pii soni alignées avec 
(a'c, ab). Donc: 
*) o'i est (Ione situé sur un cóté du triangle polaire ile a a c e et cela s'accorile avec 1' honiographie de l' indice 4 citée 
plus-haut. Une autre conséquence est celle, que ci, i\ et d^i^ passini par (a'c', a c). 
