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des deux Jirections invariables, forraenl un faisceau et ac-{-aa\-\-ba^ ea faisant 
parlie, les courbes s'osculenl en d^. Aucune autre C3décomposée ne s'y Irouve pas. Aucun 
de ces faisceaux n'a pas l'indice 1, corame il n'y a pas de correspondance sur C3 à l'in- 
dice 12 et à poinl doublé, ils donnent donc lieu à deux nouvelles courbes anallagmati- 
ques , passant toules les deux par d^. lei deux somnaels devanl coincider, les courbes 
s'y louchenl ou l'une d'elles y possède un point doublé. La première supposilion est à 
exclure; car la courbe par d^'d^ serail anallagmalique et le faisceau conslitué par les 
deux nouvelles cubiques aurait l'indice 1. Une de ces deux est donc par d^* d^ (voir 
g l. n. 3), l'aulre a 1 , et àà^à^c entrant éviderament en un cycle et la correspon- 
dance conlenanl déjà d^^d^^ elle est , qui touche eh en c et a b en a. 
Un contaci en d^ vers la seconde direction invariable (1' autre est celle de C^) dé- 
lerraine un faisceau qui contient C3' et dont toutes les courbes s'osculenl. La seconde 
C 6x6 est évidemment C avec u +e«=Y. 
L'indice sur C^* de méme que sur a c a a ^-{-b a\ n'est pas 4 ni 6. Car le degré 
de étant 4 et celui de fi, on aurait soit des quadruples soit* des sextuples une in- 
finité remplissant une courbe du G'^"*^ degré; ce qui est incompàlible avec le degré des 
Q. L'indice sur les dites courbes anallagmatiques est 12. 
La Q* contient donc 2 points doubles, une couple involutive, un triple périodique, 
3o' quadruples el 00' sextuples. 
Les 4 courbes anallagmatiques se groupent à 6 faisceaux F, corame il suit: 
Courbes anallagmatiques 
Nature des cubiques 
Base 
Indice de F 
Indice des C3 
^3 > 
a c -f- aa'j -f- ba\ 
équianharmoniques 
^,+^.+^; 
2 
G 
équianharraoniques 
4 
3 
a'c -\- aà ^ -j- ha ^ 
équianharmoniques 
4 
3 
arbitraire 
12 
harmoniques 
«^2 + ^1 + ^1 
3 
4 
de -f- ad ^ -|~ 
arbitraire 
«^s + ^i + ^'j 
6 
2 
Les indices des F se déterminent le plus directement par l' interseclion des courbes 
de F avec une el à l'aide de § 4. IV. on fera la conclusion à leur nature particulière. 
J'ajoute encore: 
Toules les cubiques du réseau conslitué par C^^ C^, d c-\-aa ^-\-bd ^ soni équianhar- 
moniques. La courbe Hessienne est C,, deux fois complée. Les cubiques rationnelles: Dans 
le 1. faisceau F^ le point triple compie pour G , le rebroussemenl pour 2 poinls doubles, 
les autres C.^* soni représenlées par 2 C^^ doni les rebrousseraents soni j, , i^. Dans F„ 
y a-t-il 6 C^*, formant un sexluple. Dans F^ y a-t-il 12 C\ Dans F^ compie C3' pour 3 
C^*. Les autres C^* doivent se grouper à des triples. Or il n'existe qu'un seul triple pé- 
riodique, donc chacune des trois courbes rationnelles encore exislantes compie pour 
*) ''^l'^i'a triple périodique contenu sur les trois droiles a'c -\- aa\ -\- ha\. 
