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§ 31. — Les transformations à trois coincidences de poiats principaux. 
I. (aa), (bb), (ce). 
Le faisceau a est Iransformé en soi de maniere, qiie ab, de et ac, a'6 se corre- 
spondenl. Soient aoc les rayons doubles de celle involution. Les trois paires de rayons 
doubles dans rt,6,c se coupent en 4 poinls, qiiadrangle conjugiié a abc. La transfor- 
malioi) est de soi-méme involutive et est celle, qui est provoquée par la conjonclion 
par rapport à un quadrangle donné. Tous les A poinls doubles portent des idenlilés. 
Pour chaque paire involutive ì^ì^ du pian les deux coniques directives coincidenl avec 
la conique (abci^i^). 
Les coniques anallagraaliques sont: 1. Trois couples , qui louchenl en deux points 
principaux deux droites principales. 2. Soient ah, bk deux droites qui se coupent sur 
une droile doublé par c et qui coupent bc, ac en h, k el soient h, k' les poinls harmo- 
niquement coiijugués à A, k par rapport à 6c, ac. La conique C<,j par «6 /t^' qui touche 
ah, bk en a^b est anallagmalique. Ainsi oblient-on 6 séries, qui ont chaque fois en 
commun deux poinls doubles sur une droile par c *). 
Tonte conique anallagmalique ensemble à une droile doublé donne une C3 anal- 
lagmalique et ainsi proviennent 36 faisceaux de C3 décomposées. Deux quelconques de 
ces cubiques décomposées consliluent enfin un faisceau F de cubiques propres. 
En prenanl p. e. d,id^-{-C^^, et d^d^-\-Ca^,^^, on obtient, que tonte couple invo- 
lutive ensemble à abcd^d^d^d^ détermine un faisceau de cubiques anallagmaliques. Une 
autre espèce de faisceaux contieni trois couples involutives. L'indice de ces faisceaux 
est 2. 
II. {ab ) , {bà) , (ce ). 
Les droites par c sont en liomographie aux rayons doubles cb elea. Celle-ci 
doit ótre périodique. Les faisceaux b et h élant homograpbiques de fagon que 5c, ba 
correspondenl à & ils engendrenl une conique D*, qui touche en & , a les droi- 
tes &c , ac. 
Or il est à remarquer, qu'un rayon de & se change après la 1. 3 transforma- 
tion en un rayon de & et que les indices impairs n'existent pas, par conséquent. 
Un poinl p de se transforme, comme il suil. On fait 1' inlerseclion p depo avec 
le successeur de p c, T inlerseclion q de p b avec et p" de q a avec le second suc- 
cesseur de pc, eie. Le rapport anharmonique b {pp ca) est égal à c (pp àa) ^ les ra- 
yons correspondanls se coupant sur p a. De méme on a 
a{p'q'cb) = c(p'q'ab) (1) 
a{p'q'bc) =■ c{pqba) (2) 
et q élant dans D» 
a(p'q'bc) = b(pp'ca) ; 
dune de (2) el (3) c{pp'ba) = c(pqba) ; 
') Lea coniques 1. sont un cas spécial de 2. Oa irouve incidemment : Les couples, qui complètent di,df,d3,df à des 
trijiles conjugués par rapport k abr soni couples involutives dans la transformation. 
