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[g 34. — Détermination des transformations, qui possèdent une C,' 
anallagmatique.] 
Les §§4,5,6 donne sur les correspondnnces univoques dans qui les conlien- 
nenl, soit périodiques , soit apériodiques cerlaines considéralions , cloni la significa- 
tion accroit beaucoup par des recherches soriani dii cadre du probléme présent. Pour- 
lant, en niarchant la voie préscrile par le principe des caracléristiques t'ermées, les 
calcuis des paramèlres sur C^, C,, pour les Q"* périodiques onl élé ajoulés séparéraent 
aux g§ respeclifs. Maintenanl je développerai en me basant sur le § 5 II pour toutes 
les Iransformalions périodiques, qui jouissenl d'une anallagmalique , les paramè- 
lres. Gomme à la suite de tonte homographie donnée sur on peul déterminer les 
poinls fondamenlaux , qui satisfonl à un certain encbainemenl demandò, il s'agirà 
seulement d'individualiser l'homographie de manière qu'elle satisfasse à la Q*. 
I. Je pose B:C = £i?, D:C=:?/, je designerai le rebroussemenl par rf^ , le point 
doublé — D: (B + C) par d^. On a pour les transformés successifs d'un poinl a 
Si b' —h, il devient 
_ aCD 
— c""+(— 1)'^' 
et pour composer une Q^, ayant d^ -z=.a^ ^ > ^ laconditiona' + 6 +c'=:3?/ 
et par suite 
_ 3 C D 3D _3D 
1) ^^S^C'^MT^ l/B''^ ' C + B - 
ce qui se réJuit à 
2) ■c"'^"-»'*'. _|_ 2x"''''-''*^ — x""'"^' — x"'"^^ — x"*'"*^ + x'"^' + a;"^' + x"'' — 2x — l = 0. 
Cette équation est toujours facteur d'une équation binóme x^^=zl et est donc satisfalle 
par une racine de l'unité. Par conséquent B:C, de méme que — B:C est racine de 
l'uniié. Donc en général arbilraires conduisent à une Q" avec une infinité de cy- 
cles dans C,* doni l'indice se déterraine par l'équation 2). 
Toulefois dans des cas particuliers le degré de 2) s'abaisse beaucoup en conséquen- 
ce des facleurs communs aux dénou)inaleurs dans 1). 
Kemarquons encore, que b' étanl déterminé univoquement , les cas où m=n ou 
m=zn=:p présentenl des Q' aux triples 2 ou l poncluels. Dans le dernier cas 1) de- 
vient x"^'-2x"^' + 2x—i=0 ou (2x-l)(x*'—ì)=zO. 
Quoique toutes les Q% ressortant de ces calcuis, jouissenl d'un nombre infini de 
cycles d'un méme indice, celles scules soni périodiques, où m, n, p soni égaux à 
1, 2, 2; I , 2 , 3; 1 , 2 , 4. Dans ces deux derniers cas 2) est à remplacer par 
B"+(-ir-C" B" 
B"C B + C "^^ ^ C" " 
A- , = (_,)»-. --- B"D D 
C-f-B ' ^ ' c"*'+(— 1)"B"^' C + B 
x' 4- .-r» + .^^ -f- .^3 j[^:c-\- 1=0 
3) 
