ne cessent d'exisler, que si les trois points fondnmentaux, qui leurs soni principaux, 
deviennent alignés ou forment un triangle inBniment petit à des angles 6nis. 
B. Condilìon générale pour les points fondamentaucc . 
Première démonstration . Toule transformation cubique enlre EE,queique soit la di- 
sposition des points fondamenlaux, peul étre engendrée par application successive de 
deux transformalions quadratiques P et P' enlre E E', si dans E, deux points fonda- 
menlaux de P,P coincidenl. Soient les points fondamenlaux 
pour P E {aa^ o,) E, (a'a'j 
pour P' E, (a'6'36'^) E^{hì)^h^) 
et supposons que P change les points h^hi ^ en a^a^ de E et que P' change a ^d^ en ò,^;^ 
de E'. La transformation Q*=P. P' aura a a a a et b'^b b b b, comme fondaraen- 
1 2 34 1234 
taux et ab, a. b. seronl accoupiés. 
Or suivant le g 9, II. partie existent deux homographies, qui à raison de P con- 
duisent aa a,a a, en d à a' b'b\ et à raison de P : a b b\d d en bb,b b b . 
En les appliquant de suite, on élimine les points auxiliaires dans E^ et obtient 
a ea b , a^ en b^ , rt., en b.-, , «3 en b^ , en b^ . 
Cela veul dire: Afinque da^a^a^a^ 616*6^6^636^ soient les deux systèmes fondi- 
menlaux pour une transfornialion cubique biralionnelle, il faut et il suCfit, qu'une houio- 
graphie changeant les points a par ordre en les points b se peut établir. Alors ils don- . 
nent lieu à cinq différentes Q^. 
Seconde démonsfradon. Les points fondamenlaux accoupiés de 2,2' seront dési- 
gnés par db',a^b^, a^b^, ^a^s'^^^^- '^'ors se correspondent a et conique B {bb^b^b^bj, 
a. el droite 66^, a^a^ et droite 6^6^, droite a a. et 6,, conique A (aa^a^a^a^) et 6 
i aai-\-a^a^ b^ b^ 
b, 
b 
Droites par b 
Les faisceaux a,& soni rapportés bomographiquement, donc: (a, O3 a J et 
6(6^63,636^') sont deux quadruples bomograpbiques. Ensuite se correspondent horiio- 
grapbiquemenl d'une pari les coniques A^ et les droites par b^ et d'autre par les et 
leurs tangentes en a. Donc, a a éìant la tangente de A en a 
a (a^ flj «3 a) tt b^ {b^ b^ 63 b) . 
En outre a(a,a,a a,) r. b(b b b b) et a(a a a 6(6 6,6 6) où la dernière formule 
^1*34 1234 123' ì f 3 ' 
se complète par b^(b^b^b^b) r. b{b^bjb^^), 6pi étant la tangente de B en 6. Donc 
a^{a^a^a^a) n b(f)^b^b^^) el en tout 
««2 4" ^s'^l 
artj -p a, rtj 
Droites par a 
n (^r, a., a) t. b {b^ h.^ b, ^) 
c. q. f. d. 
