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la droile de ce point vers a devrait faine parlie de A. Mais celle droile esl aussi fonda- 
mentale pour le point simple, ce qui donne un paradoxe, si non ce point simple est in- 
Bniment voisin de a. Il s'ensuit donc que tous les points fondamentaux simples soni 
infiniment voisins dea. 
6. Pour la recherche, qui nous occupe, les seules dégénerations adniissibles soni: 
g 1, r. 18. 19. 21. et il est essentiel, que la transformation n'est pas encore délermi- 
née complètement par les syslèmes fondamentaux. Par les autres déterrainations s'en- 
suivent l'homographie enlre les rayons de a et l'indice dans ces rayons raémes. 
7. Si dans la transformation en considération l'indice entre les rayons de a est 
égal à 1, elle s'appelle une homologie supérieure. Donc on conclut de ce qui précède: 
Une homologie supérieure possède toujours une courbe remplie de points doubles de la 
transformation. Celle courbe est du méme ordre que la transformation raéme et la 
détermine, savoir elle a un point v — en a et les points voisins de a soni fondamen- 
taux pour l'homologie. 
Dans notre transformation successive {m -\- ly^me q^^ q^j évidemment une 
homologie supérieure, existe une courbe A de l' ordre 2m + 3 à un point (2m + 2y"P'^ 
Les points voisins de a se partagent en deux fois m + 1 , dont loute partie forme un 
cycle et dans la courbe méme existe une homographie de l'indice fn+ 1, qui contieni 
ces deux cycles. 
Réciproquement on peut déterminer la transformation par celle courbe-lieu. Pre- 
Dez une courbe C^^^^ à un point (2m + 2^"^'^ a, dont les tangentes se partagent en deux 
fois m + 1 d'un cycle homographique. Les cycles, qui en méme temps apparaissent 
dans Cj^^j au moyen de celle homographie, font aussi partie de la Q^ On peut prendre 
encore deux points successifs enlre les voisins de l'un cycle et deux points successifs 
entre les points de l'autre cycle, pour en conslituer le système fondamental de Q'. 
Alors l'homographie dans C^„^^ sert à compléter la transformation Q^ 
8. On pourrait penser, qu'ainsi l'indice de l'homologie et l'indice 2X (m+ 1) de Q' 
ne soient pas encore délerminés. Pourlanl il en esl ainsi. Car le rapport doublé de l'ho- 
mologie dépend de la relation , que les voisins de a pour le réseau de C^^^^ ont aux 
voisins de a pour la C^^^^ fixe, laquelle relation peut étre mésurée par le rapport des 
rayons de courbure des deux points multiples. Car méme dans le cas normal il y a 
deux points fondamentaux simples infiniment rapprochés au point a vers la méme di- 
rection. 
9. Comme la courbe C^^^j ensemble aux points doubles détermine dejà l'homolo- 
gie supérieure, il s'ensuit, que les formes des transformations de Jonquières, oiì des 
points simples en nombres variés pour les différentes direclions soni infiniment rappro- 
chés à a, ne peuvent point exister.Donc notre cas spécial n'entro point pour le syslème 
fondamental 19. Le système 21 conduit à ce cas spécial de la T^^^^j , où les voisins de 
a dans la C^^^g fixe se trouvent seulement dans m -\- ì direclions fixes, où il y a donc 
m -\- 1 rebroussemenls infiniment rapprochés. Ces m -\- 1 tangentes doivent alors 
déterminer un seul cycle, par lequel se détermine aussi l'homographie dans C^^^g. 
La qui y appartieni, se détermine alors comme dans le cas normal par deux suc- 
cesseurs parmi le cycle des voisins. 
10. Je termine par remarquer, quo les homologics périodiquos se laissenl conjoin- 
dre encore avec les autres particularisations des C.j,„^3. Mais il est impossible de Irouver 
une Q', qui aboutisse par répétition à celle homologie. 
