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IV. 1. (a6), en o^., {=1, 2, 3, 4. Les couples involutives sont contenues dans une 
courbe du 5'^""® ordre. Une C3 anallagmatique , déterminée pai" les 9 points, possèdera 
donc des quadruples. 
Il -\- iu=^. Les condilions pour la caracléristique se trouvent ainsi. a + «, -|- ^2=0 
et a + u\ + ii\ = 0 donnent (i + 0« + '-r = 0 1). Ensuite a. + ìb^ = '{ , 2) , et 
"1 + +«2=0, a + 62 + ^3+^4 + "i + «2=0 fournissent a + fa — 6,-f 26. + 2y=0 
/ = 1 , 2, 3, 4). Puis de bi — « (a + 6.) = y 4) et — m,. = — iy 2) dérive a ^ {i — 1)y, 
c'est 1) plus précisée. On a donc ^b.~—{2i + 1)y 5) et 2 a . + 26. + a = 0 et peut 
conclure: La valeur de y est arbitraire,a s'en déterraine, les points doivent remplir 
la seule condition 5) et les points a. s'en déterminent. 
Les 9 points soni la base d'un faisceau de cubiqms. San indice est évidemment 2. 
Paramèlres sur C.^^. m' + ccw + ?/ = 0 , a + + ti^ ~- 0 et a + u\ + u'^ 0 don- 
nent (1 + a?)o — 2?/ = 0. a. + (iob.-\- y = 0 el b^ — xia-{- a,) -\-y = 0 donnent a. — 
=: — x{b. — &J et b. — b = x{a. — a^) et de là x^=z — 1. En outre 2 b.=z (3x — \)y: 
(1 + a?), 2a.=: — (3£c-l- 1). Les 9 poiìits forment la base d'un faisceau. 
Les transpositions {adJjY démontrent, qu'il y a une forme, où les 5^. et a. sont 
contenues dans une conique anallagmatique. 
2. (a6), (a, 61), b^ en , b^ en a^, b^ en a^, Indice 4. Le lieu des couples involu- 
tives est une quartique par qui touche a(&., a^ ^(=)l en 6^ a.. 
Les 8 points déterminent un faisceau de C3, et l'indice n'est pas 4, puisque ces C3 
coupent la quartique en des triples de points. 
Le 9'^™^ pivot ne peut pas étre un point doublé propre d.. Car chaque C3 porte une 
involulion u' + m = Yj dont trois points doubles tombent sur la quartique, le 4'*'"^ dans 
di et toutes les C3 auraient di a pour tangente dans d^. Donc: 
Les cubiques du faisceau se louchent dans a^. Les paramètres dans pour 
M' + a?M + y = 0 donne a = '2y: (1 +cc), aì=— y : {ì + x), b.^ + 63 + 6^ = 3£C : (1 -\-x), 
= — 1, a. + xb.-{-y = 0 {i = 2,B,i). 
Les paramètres dans fournissent a = y(« — 1) , «1 ^ T: (1 + 0 + f^(^i — '0 : 2 
^2 + ^3 + ^ = — ìqi^.' «2+«3 + «4=+fq7^i 2&, + rt, = Y(j= 1.2,3). 
Les points b^a^b^a^b^a^ sont donc toujours dans une conique, comme on le sait 
par un Ihéorème de M. Berlini *) sur les tangentes à une courbe raenées d'un point 
multiple. 
Soit d^ le rebroussenient de C^^. En appliquant (aa,f/,)% on déduit une caracléri- 
stique de la mème espèce , où b^a^b^a^b^a^ sont contenues dans une conique, qui est 
tangente à aa, dans a^ et à la seconde droite doublé dans un point doublé. Un faisceau 
anallagmatique de C3 ne peut donc pas exister. 
En transposanl la au moyen de {aa,d^f, où d^ le point doublé, dans lequel C;^ 
touche ad^dj, on obtient une de la méme espèce à C^^ anallagmatique. Mais celle-ci 
donne suivanl le calcul des paramèlres toujours lieu à un faisceau anallagmatique de C3. 
De là il s'ensuit, qu'en méme temps avec la analltìgmalique existe un faisceau anal- 
lagmatique de C, qui passent par a^a,' et touchent dans di la droite ad^. 
*) Voir aueei Caporali, Rendiconto dell'Accad. di Napoli, 1881. 
