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meni dans ce qui précède. Menant &'^a jusqu'au point d'interseetion u avec a^a^, la 
droile 60 conliendra b\, et afin que b'^ coincide avec a^, il faut que 6'^ ou t' coincide 
avec a et il faudrait encore , que t coincide avec a. C'est-à-dire , que era et aa^ ou aa^ 
coincident. Cela ameneiait une alinéation 66^63 ou ^^4^21 laquelle est irapossible. Dono 
pourvu que ni ni coincident avec un des deux poinls a, 6, la caractéristique en 
question ne peut pas exister. Mais une Ielle coincidence changerait la caractéristique 
en une autre. 
4. (a6J, (^Oj), (a^b^) , {a^b^), b^enb'^en b" ^ en a^. Gomme 6'^ est silué dans o,ct, 
la conique {a^o,^o,,^by correspondante passe en u et est dono a^a^-^ b^a^ ^ soit u le 
point {b^a^a^a^^ le point 0 sera ì)\. Le point 6^" sera donc contenu dans b'\a^ et afin 
que cette droite coincide avec 6a^, il faut que b^' coincide avec a et avec 6'^ ce qui 
entraìne coincidence de ao^ et alinéation de a^O'^n,^ et coincidence de 66^ ce qui chan- 
gerait la caractéristique. 
5. (a&j), (&aj), (a^6^) , ò^ena^.ò^ en a^. L'horaographie adjointe conduit a en 6 en 
a, Oj en a^, en 63, en b^ et possède une droite doublé 5 passant para^. La droite 
directive dans pour a ,6 soit 5'. Elle passe également par et en outre par (a a^.hb^)^ 
(0 a^^hb)., {ab^,ha^), (ab^, ba^). Les droiles a^b^ , 0^6^ passent donc par un point n:' sur 
ab. Or les points qui avec leurs correspondants par l'homographie et avec t' sontali- 
gnés reniplissenl une droite par a^, et il faudrait que ci^a^a^ soient alignés, quand n ne 
serait pas doublé sur ab. Donc «' coincide avec le 2"* point doublé n de l'homographie 
sur ab et a^b^, a^b^ passant par n ^ l'homographie est une homologie involutive. En 
faisant usage de la conique directrice pour a^ on vérifie l' impossibililé des deux en- 
chiiinements. 
VI. 1. (ba^) , (a^b^, ("3^3)? ^4 ^4- Indice 6. La cubique a„a^-{-ab^-\-ba^ est 
anallaginatique , puisqu'on a a^a^ en ab^ en ba^. Il exisle co' cubiques, transformées 
enlre elles, une courbe anallagmatique est la dite cubique décomposée , dont les trois 
droites passent par le point doublé d^ de Q' (Voir V. 2). Les directions dans se per- 
mutent à l'indice 3 et soient , 8^^ les deux directions fìxes. On a alors deux faisceaux 
de cubiques , qui s'osculent ou suivant ou et les secondes C3 anallagmatiques 
sout forcément avec u'-j- eu=Y- Chacune contient une couple involutive et il faut que 
ce» deux couples soient identiques. Chaque triple périodique forme avec la caractéristi- 
que la base d'un faisceau et la correspondance dans la seconde ne peut pas étre que 
m' — u=x , et par conséquent y= — • 
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Cesi le premier type isolé, jouissant d'une correspondance m — m=Yi que nous 
rencontrons dans cette recherche. La ligne des triples passe par s=z{aa^^bb^). a,b 
faisant parties d'un triple droit sont points d'inflexion de C^. a^,&^, (aa^,6&J formant 
un triple, les droiles a^ b^ , ab se coupent sur dans le point n. Cette courbe touche 
a 6^, ba^,T:s en b^,a^,s , suivant les propriélés connucs des points d'inflexion de C*. En 
s'appuyant sur le résullat obtenu dans V. 3., il est donc facile de délerniiner une pa- 
reille caraclói islique: On conslruil les poinls conjugués b^, a^ à deuoo poinls d'inflexion 
a, b(/' une C^ daìis le méme syslème el tire la droile (a b , ba^) (a a^ , b b^) qui coupé C^ dans 
les deux poinls a^, a^. 
Le point (7=(a6^,&aJ étrange à C^ et son voisin déterminont alors un faisceau, 
dont la seconde C, anallagmatique est équianharmonique. 
