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On calcule 6'^-|-5^= — Sey, è"^-J-a^= — 2ey, a^-f6^=— 2eY. 
Du reste on pourrait aussi conclure de za^^b-\-a-{-ò.^-[-b^-\-2x=0 et — t^a^-\- 
c c 
6j -1-634-0^+ 2 Y=0, sans faire usage de 1), que (& — 1)=0, ce qui demande— =0 
et de là directement b^ — a^~0, b\ — b^=Q et ensuite a^-\-a^=t-^. 
La caraclérislique est impossible. 
(^^i)A^(^i)> (^2^2)' ^3^^ "35 ^4 ^4- ^ ^''^'^ points doubles impropres et 
par conséquent deux propres. Le tableau erapéchant des alinéations démontre, qu'aii 
moins une cnbique propre anallagmatique doit esister, u -|-ìm=y donne ag4-i&3=Y, 
^3 — i {a-\-a^)E^O, donc a^O, de la méme manière 6=0, Am'4-Bm4-C = 0 dans C*, de- 
mande Aa3+B&3 + C=:0, Ab^ — B{a-\-a^)—C=0, et ensuite &3(A — B) — «3 (A-f-B) — 
Ba = 0 et de méme (A — B) — (A+B) — Ba=0, d'où b^=:b^, a^—a^. Mais une 
telle caractéristique pourrait étre traduite en une autre avec alinéation, qui aurait de 
méme une involution interne J^^. €3" anallagmatique conduirait au méme résultal. 
5. («èj), (&«!,), by en a^, b^ en a^, en a^, s'écarte par les mémes raisonnements et 
à plus forte raison. Car u -\-zu=y donne également a^-f-e&j=T, b^ — — ea=0 et 
par là &2 + ^^ — ^Y, alinéation de a, b.^ et du point doublé de la correspondance , et de 
méme pour è^, ce qui fournit un paradoxe. m — ew=T donne a^ — e b^^x, b^-\-z(i^-{- 
ùEE^X^^ b^ — a=0, par conséquent b^=b^=b^. avec u'-{-zm=t demanderail a^-{-ib, 
=Y)^2 + * C'^+^a^ =Yi a = Y (l+O, et au raoyen de 6 — 2a-^2Y = 0 s'ensuit6= — y 
4-1) =«5 contradicloiie à la caractéristique. 
6. (a&J, (èa^), (fl^ój, b^ en a^^ b^ en è'^ en possède évidemment (ayant égard à 
la transformalion interne involutive) une C3 propre anallagmatique, qui à raison de 
l'indice et puisque une infinité de couples involutives est interdite par la caractéristi- 
que, ne pourra étre que Cj^ ou C3* ou une avec ù — u=Y. Mais alors la distribution 
des deux points doubles propres tombe en défaut. 
7. (aò,), b^ en o.^, b^ en , en a^. Indice 12. La transformation a trois 
points doubles propres. Par les 8 points passe un faisceau, doni le 9'^""® pivot soit d^. 
Excluons d'abord M'4-eu=Y. Cela donne za^ — h^=ta^^ — b^-^ta^ — b^el a^-\-tb^^ 
a^4-^^3=Y' ^2+s^4=Y et de là b^=b^=b^^ ce qui est incompalible avec la caractéri- 
stique. M — eu=Y cJonne le méme résultat. 
M'-|-m=7. Cela donne ia^ — b3=ia^ — h^^^a^ — h^\a^^\-^b^^^,a^-\-ih^~'x, a^-\•ib^^, 
d'où b^—h^~b^ — h^~h^ — b^=—^^■^, a^ — a^ = a^ — a^ = a^—a^ = — ^'^. Partant b^—b^^— 
Sjy, *3— ^2=— 6iY, d'ou 9zY=0. Mais b^-\-b^^b^='i (i — 1)y, et ^b^=3^i—\)^x,h^={i—l)^x 
c c 
-f-g- , 63= — (1 4-2«)y 4- On obtient tout de la méme manière -\- ai-\-a^~Z 
(i — 1)y, donc ttj a^et 636^ devraient nécessairement former deux triples de la mé- 
me sèrie, il faudrait donc 3 (i— 1)y=0 et ensuite 3(1 -f 2 i)y=0, où a et 6 sont deux 
points d'inflexion. D'aulre part on conclut, que le point — (a 4-^) et les 6 points b, 
appartiennent au méme groupe neutra), ce qui demanderait que b. et a. soient tous des 
points d'inflexion et forment partant une configuration incompatible avec la caractéri- 
stique. 
Ainsi il s'ensuit que la seule supposition admissible est celle, que les deux C3 anal- 
lagmatiques sont C3' et que loutes les cubiques sont équianharmoniques , l' indice du 
faisceau étant égol à 2. Une parlicularisation de cette caractéristique est la répétition 
de B„. 
