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8. en a, b en a^, (a^èj), («jt,), b^ en a^. Indice 10, Les nombres du tableau font 
ioule alinéalion inipossible. Or suivant K. 1. la ne possède que 3 couples involuti- 
ves. lei on en a 5 impropres en a en (66|...)', 6 en en 66^, en a^ en 66^, en 
bb^ en (6*63. ..)\ a, en 663 en (66^...)^ On aura parsuite une infìnité de couples, qui 
remplissent une courbe anallagmalique, passant simplement par la caractéristique, sa- 
voir une cubique avec m'+m=y- Un des 4 points doubles est le Q'^""^ pivot, le 5'^""' 
point doublé de est le rebroussement d'une C3* anallagraatique. L'indice du faisceau 
est 5 et on a celle remarquable circonstance, que la courbe à invariant absolu arbi- 
traire doit absorber au moins 5 des courbes du faisceau, qui possèdent cet invariant 
absolu. 
9. 6j en a, 6 en , (0^63), («364), («^ b^. Indice 6. L'homographie adjointe a le 
triple cyclique a^a^a^ et conduit a en 6, a, en b^. La droite a^b^ et la conique a b a^a^ 
a» soni transformées involulivement entre elles. La transformation n'ayant pas de point 
doublé impropre , il est évident que chaque point d'intersection de droite et conique 
est doublé pour C3. 
avec vi — eM=Y donne b—za^—2x,a^ — tb^y,a—th^='^,—{b-\-b^)-\-za^~^, 
d'où a = eai+ (2 e'— e) Y, e 6,+y, a~a^ — e' ^ + e'Y. et a, + 6, = (1 — e')Y, (e— e') a,—b^= 
(1 — e*)Y,2a,=2(l — e)Y,26,=2(e— s')Y,2a=2e^Y,2*=— 2y. Ensuite— ea,— £«3— 
ea,— a3=*+Y donnent 2a,= 2a3=2a,=2e(i+Y) =0. Mais la courbe devra évi- 
derament couper 6, en un point doublé, donc b^J{-a^={\ — e^) y^^^^^^ ou 2 y^P- 
' ^ ' , 2aj = 26j=0, ce qui demande la coincidence de deux points de la caracléri- 
stique. 
avec u'-f eM=Y donne £a=_2Y,a, -f-£&=Y, « + £^=Y> +6^+^=0. 
Les congruences ta^—a^r=za^—a^=^a^—ari~h-\-^ ne sont pas indépendantes et four- 
nissent les seules déterminalions: a^^sa^ — 5— Y,a3=£^ a^-f- z^b^t^-^.a^ — —zb-\-'^, a= 
— g»j_2e'Y,6i^(e— 1)y+£^^o°<^ doublé infìnité de caractérisliques pour la niéme 
correspondance. 
C3 avee m — m=y demando 5_ar-|-2Y=0,a,— &— y>«— &i^Y.«i+(*+^)=— Y 
de là a + a^ 4-6=0. 
C3* avec M'4-a5U?/-f=0 donne h■\-xa--2y=<ò..^.\a^■{^xh■\-y=0...2),a-\rxb^-\-y= 
0...3),a;a4— &i— 6+2/=0...4),d'où par combinaison de 2), 3), 4), {^x^J^x)b—a-{-{x^—x—l) 
y=0...5) et par 5) et 1) (a;*-f a^^' + l) 6 + (a;' — a;"— a;-2)?/ = 0...6). Mais cca^ — a^~xa^ — 
a^=xai—a^=b—y demandent £p'=1, par quoi 6) est satisfaite idenliquement. Donc 
ainsi les équalions pour a, 6, a^, 6, que celles pour a^, a^, a, ne fournissenl pas une dé- 
termination parfaile et dans esiste une doublé infinilé de caractérisliques pour la 
méme bomographie donnée. 
C3 avec u 4-u=Y deniande a^ — a^=a^ — a^=a^ — a3 = J-f-Y, a + i-t-2Y^0, 
6 + a,=Y,d'où a,+ a3+a, = -3Y,3ò = -3Y,6-^:^-3Y. L'exislence d'une infìnité de 
couples involutives est à conclure aussi des couples impropres b^ a, 6 a,, a,, en 66. en 
6a, &,a.6.^j. Les points correspondant 'à {a^b^ selon celte correspondance involutive 
sont les points d'intersection de avec aa^bb^, donc: C^^ contieni Ics points (aa,, 66J, 
(aa^, 663), (attj, 663) soit «„, «3, et les deux ìriangles a^a^ et «3»^ ont triple lio- 
mologie avec a, 6,— y corame cenlrcs. Donc 6^, a^ soni les points langentiels de a, b. 
