— 231 - 
qui soni équivalentes à 
a + t'Y + ^l>,-Jrh + K = 0 
«(l-0 + T(£'-l) + *2 + 53 + ^ = 0 
qui au fond sont identiques. 
On a la règie suivante pour élablir iiolre caractérislique : Prenezunpoint arbitrai- 
re d sur corame doublé d'une correspondance u' -\-zu~x i déterminez deux points a, b 
de manière à projeter homographiquement celle correspondance el puis un triple d' infle- 
xion apparlenant au triangle hessien et situé dans une conique avec abd, ces trois points 
seront b b b,. 
2 3 < 
11. &, ena, b en b' en , (a^b^) , (a^b^) , {afi^. Bien que la Iransformalion interne 
involutive ne soit pas typique, les 56 alinéations s'écartent au moyen des autres tran- 
sformations successives et il faut donc qu'une cubique propre exisle , qui soit anallag- 
malique. 
M'^eu=Y donne les conditions ea-|-&-{-2r=0, afin que a , 6 soient accouplés, 
a_|-e&^=Y* ^fi"! b^ en a, — a,=Y(£ — 1) que b en^'ena^et^j — ea^ — ea=Y 
afin que l'accouplement de , &j ait lieu. De là on tire &= — £T , c'est-à-dire baa^ a^a^ 
seraient dans une conique et b^a^^ contradictoirement à la caractérislique. 
u j^iu—^ donne les conditions ia-{-b J^2y=0 , a-i-t&|=T, a^-\~b^-({\. —i),b^ — 
?(a-j-aj)=Y ) P'"' combinaison fournissent (e — l)a^~{i — ì)a^~{i— l)a^,ce qui 
demande, que deux de ces points coincident. 
Or la caractéristique est traduile en la méme espèce par (aa^a^)', donc cette ca- 
ractéristique jouirait d'une alinéation, qui est contradictoire aux enchaìnements. Lors- 
que la transformation existe, elle déterniine un faisceau de C3. 11 y a deux points dou- 
bles propres. L'un d'eux est le 9'^"® pivot et si une des deux cubiques invariables était 
avec u — eu=Yi ne saurait disposer d'une manière salisfaisante de la seconde 
courbe. De là on peut conclure , que la transformation n'existe pas. 
Remarque. Quoique le raisonneraent précédent écarle celle caracléristique, elle 
donne origine à d'aulres réflexions. Puisqu'on peut élablir des courbes du 5'^'™® ordre 
du genre 0, qui soient transformées en soi-méme, p. e. ab^ b'b'^ ^i*^2*V V^/' s'en- 
suit, qu'en faisant usage à'une (a^b^^b*b'*a^'a^^a^a^^y^ qui possède la dite quintique 
corame courbe fondamentale, on Iraduirail Q* en une transformation à 7 points. Il faut 
donc, qu'une caracléristique inconstructible à l'indice 12 et à 7 points exisle. 
12. &j en a , & en b' en 0^, (a^b^) ■, {a^b^), {^^b^- Indice 12. Les uiùmes conciusions 
démontrent encore, que deux cubiques propres anallagmatiquesexislenletqueu'-|-eu=Y 
n'est pas contenue dans cette Q\ 
La caractéristique n'ayant aucun poinl doublé irapropro, la transformation en pos- 
sède cinq propres. Il faudrait donc qu'une C3 invariable au moins soilC^avec u — eu^^r^Y- 
La condition pour que a.b. soient accouplés, sera b — ea. — b.-\-lb.+ 2x^,0. De là il 
s'ensuit e aj-|-&j=eaj4-&j=ea3-|-&3=sa^-|-&^, et à raison des 3 coincidences (e — )) 
b^-{-b^~3b^e.l (e— 1) b^^b^—zb, d'où à^^b^ et ensuite 0^=0^. La caracléristique ne 
serait plus la méme. C,, avec u'-f-? m — y deraanderait i a^ — b^~^a^ — b^^ia^ — ^3~~' «4 
— 6^, d'où b^^b^~b^. C3' donne le méme resultai. 
