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13. & en &j en a, (o^ò,) , (a^b^), b^ en a^. Indice 30. La transformalion devrail 
posséder trois poinls doubles propres et n'avoir aiicune couple involutive etdeux cour- 
bes anallagmaliques C3 propres. Le nombre des courbes rationnelles et l'indice n'ad- 
mettent que 5 conime indice du faisceau. Toufes les cubiques sont nécessairement 
équianharmonique et une reste. Celle-ci donne a^—a^ et comme la caractéristique 
par une Iransposition (aa^Og)'^ est traduite en une aulre avec J^,, on obtiendrait une pa- 
reille transformation avec une alinéalion, chose impossible. 
14, è en a, , &j en o, {a^h^ , (a^à^), en a^. Indice 12. 
avec u'+ett=Y fournit — (6+6J + £a^=Y, — ((> + b^ + ta^^x, — {b + à^) -{- 
ea^=Y, ou ea,— 62^Y + 6? ^"3 — ^a— Y+^j ^o,^ — a^ = '(-\-b , et de là il s'ensuit 
C^avec u — £U=y fournit 6— £a=— 2y, a, — £è=Y, « — eJ,=Y^ — (*+^)— e«i=r, 
de Va a^—l^a={l—2z)Y, t'a^-\-^^ a-\-zb^ = tx , et ^1— «i=(£*— 1)y, d'autre part — 
e»a=Y(l— 2e), e-a — i, = e'Y ^t de là è^ — o,=3eY, cela démontre, que 2(£^— e)Y=0, ou 
2 eY=2£'Y=2Y. Donc 
rt = e'è -f- 2e^Y > *i = + Y ' ^1 = — ^^T = £^ + 2&Y — ^'Y • 
— eflj — Jj^è+Y» —ta^—a^=ò-\-Y, — ^a^ — a^~b-\-'(, d' où a^^b^~2ty-\-2zb , ce qui 
avec a^ — tb^^x donne ^2= — ey — 2£^è, a^ = 3Y— 26, a3=£Y+(2£— 1&, fl2=(l e^) y — 
(£^-2 e) b. D'autre part 
ta, + b,-{-b, + b, + b + 2x = 0,ta,-\- b, + b, +b, + b -{-2^ = 0 , 
ea3 + ^ + ^ + *. + ^ + 2Y = 0, £«,4-6, + + 63 + 6 + 2y = 0 
ce qui donne 2 i(2£— £-) + 4y=0, 2è(2£— 1) — 4 £'y= 0 et partant 26=0. Avec celle 
valeur on calcule a=6^=— £Y, contradictoireraent à la caractéristique. 
€3^ ou avec 11 •\-u=y prises comme anallagmaliques ne suffisent poinl à l'in- 
dice du faisceau. J'en conclus, que la caractéristique est inconstructible. 
La inéme conclusion est déjà indiquée par cela, que b en bi en a, a^en b fr^, 
en b^ représentent 4 couples involutives, et que la caractéristique devrail en pos- 
séder une infinité, par conséquenl, ce qui ne se comporlo pas avec 6^ en a^. 
CONCLUSION 
Les caraclérisliques suivanles sont les seules irréductibles en degré auxquelles 
correspondent des Iransformations existanles dans le pian. 
1. {ab^) , , (rt, b^) , («3 ij) , b^ en . Indice 6. T,'. 
2. (a6,) , (6a,) , en , b^ en , b, en «3 . Indice 12. T,,. 
3. btcna ,b en a, , {a^ b^) , (03 b^) , b^ en . ìndice 10. r,j. 
4. 6, en rt , è en a^ , (a, 6,) , (a, 63) , (a^ b,) . Indice 6. T,*. 
5. en a , 6 en «, , Ò3) , («3 6J , {a^ b,) . Indice 6. r,^ 
