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tre qu'une alinéalion n'aura pas lieu ici. Ensuite la transformalion posséderait deux 
points doubles propies, dont l'un le 9'^""* pivot du faisceau. Si l'indice du faisceau é- 
lait 3, il aurail toutes les courbes équianliarmoniques el partant 6 C^^. Si une C3* re- 
ste invariable, ni les points doubles, ni les aulres C^^ permellent une distribution sa- 
tisfaisante. Si l'indice 9, les courbes ralionnelles, que le faisceau devrait posséder outre 
la C3' invariable, feraient une conlradiclion. Il faul conclure, que la caracléristique 
n' esiste pas en réalité. 
5. (^.,£3), (e^5.), (e^B,), e, en ^3, ^3 en e^. 
Il y a deux points doubles propres, il n'y a pas d'alinéation et comme précé- 
demraent on observe, que ni l'indice 3, ni l'indice 9 n'est coinpalible avec la nature 
dos cubiques anallagmatiques. La caractéristique n'existe pas. 
6. ((/j£.,) , (^^£3) , (6.^5,) , (e^e^) , ^3 en d^, ^2 en e,, Indice 8. La transformalion ìd- 
terne involutive étant du degré 17 et irréductible , on en conclut de suite, que l'in- 
dice du faisceau ne pouvait élre que 4 ou 2. Pour 2 les cubiques seraient barmoni- 
ques. Par une discussion pénible on conclut, que les courbes rationnelles nécessai- 
res à la réduction du faisceau jusqu'à ce caraclère sont incompatibles avec la caracté- 
ristique. 
Donc r indice est 4. Puisque le nombre des points doubles propres est 3, les seu- 
les suppositions encore à discuter seront deux C^^ ou deux anallagmatiques avec 
u'4-tu=Y. Ce dernier cas demanderait ^i-^r^ì + ^a+id^ + d^+^x^O^ et de là id^-\-d^ 
=idi-{-di = id^-\-d^, d'où l'on tire d=d^^d^. 
Reste donc le cas de deux anallagmatiques. Mais alors une question est sug- 
géi ée qui est difficile à décider. Faut-il que toutes les cubiques du faisceau soienl é- 
quianharmoniques? Les deux absorbent deux et les deux aulres sont incom- 
patibles avec l'indice 4. Il faudrait donc, ou que les cubiques soienl toutes équianhar- 
moniques, ou que les deux restanles se confondent encore avec les deux C^' inva- 
riables. Si aucun de ces cas n'est pas un cas parliculier de l'aulre, la transformalion 
qui est lépélition de B^^ décidera la question dans le premier sens. 
Toulefois on pourra se servir de la conclusion suivanle, pour évaluer le nombre 
des quadruples impropres fourni par la caracléristique. On peut assérir, qu'ilestle 
méme pour lous les arrangemehts géométriques. Or nous en connaissons un , où ce 
nombre est si grand qu'un seul quadruple propre reste encore. Cela doil valoir toujours. 
Les courbes ralionnelles composent par leurs poinls doubles des quadruples. S'il y en 
avail 8, on aurail deux quudruples, donc leur nombre ne peut pas surpasser4et il faut, 
qu'elles soienl 4 Q,^. Leurs rebroussements établissent le quadruple el toutes les cour- 
bes sont èqui anhar moni ques . 
Le quadruple doil forcémenl exister el la pupposilion, que les courbes rationnel- 
les coincident toutes avec les deux C3' fixes, s'écarte. 
7. 6 en a, (a, 6,) est impossible, parceque la conique directive des deux faisceaux 
a, 6 devrait se partager en a6 et une droite par lous les points a. qui renconlrerait la 
courbe fondamentale de a, 6 en 6 points. 
8. (a 6,), {ba^ , (a. 6,) i = 2, ... 6. La conique directive de a, b devrait se par- 
tager en ab et une droile par Ics a.. Donc 5 points simples seraient alignés. 
9. (atj, (6a^), (a^6^), {a^b^, K^J, en o^. La conique directive devrait 
se partager en ab el une droile par , a^, a^, , qui de sa pari enlrainerait l'ap- 
