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Dette poi X' ed X ^ le forze totali che agiscono rispettivamente sul!' elemento 
di filo ds in moto, e sull'elemento di superficie da in equilibrio, essendo: 
da = vdlds sen 6 , 
le (4)' danno: 
Dunque la forza totale che agisce siiW elemento dcr di superficie è eguale alP im- 
■jpulso della forza motrice che agisce sull'elemento ds di filo. 
2. Qui però è necessaria un' osservazione. 
Per l'equilibrio stabile di un filo occorre che la tensione sia positiva; e quindi 
le linee che corrispondono alle traiettorie, avendo una tensione negativa, sono bensì 
in equilibrio, ma instabile. 
Se alle forze applicate alla superficie si cambia segno, cambiano segno anche 
le tensioni, ed allora la superficie ò in equilibrio instabile per le linee appartenenti 
air altra famiglia. Si può ottenere una superficie in equilibrio completamente sta- 
bile, generata dal moto di un filo, se la tensione T, nel moto del filo generatore, è 
negativa ; poiché cambiando allora il segno alle forze applicate alla superficie, le 
tensioni delle due serie di fili divengono positive. 
3. Se il filo si muove non sollecitato da forze (eccetto che agli estremi, se questi 
estremi non sono liberi), allora X = Y = Z = 0, e quindi per le (4)' si ha pure 
Xj= Yj = Z, = 0 ; onde la superficie generata dal filo, supposta flessibile ed ine- 
stensibile, ò in equilibrio senz' aggiunta di forze esterne (eccettuato il contorno). 
Esemino. Abbiasi un filo flessibile ed inestensibile , soggetto ad una forza 
F = w-r, perpendicolare ad un asse 2, repulsiva e proporzionale alla distanza r dal- 
l' asse stesso. 
La curva di equilibrio stabile di questo filo (concava rispetto all' 2) è nota, 
essendo stata studiata dal prof. Marcolougo *). 
Ora la curva del Marcolongo rappresenta anche la posizione d'equilibrio 
relativo di un filo non soggetto a forze, e i cui estremi siano legati ad un corpo 
rigido il quale ruota uniformemente intorno all' asse z con velocità angolare w. 
Il filo descriverà nello spazio una superficie di rotazione, la quale, considerata 
come flessibile ed inestensibile, sarà in equilibrio senz' aggiunta di forze, eccetto 
quelle al contorno. 
In virtìi del teorema del prof. Morera, potremo sostituire a questa superficie 
un reticolato, formato dalle curve di Marcolongo e dai paralleli. Questo retico- 
lato però si troverà in equilibrio instabile, essendo la tensione positiva lungo le 
generatrici, negativa lungo i paralleli. 
Se si fa ruotare, invece della curva di equilibrio relativo stabile, quella di 
•) Il Eésal (^3Iécanique Généralc, t. I, p. 318) lia trattalo il caso che i punti fissi siano in 
un piano con 1' asse di repulsione. 
Il Marcolongo {Alcune applicazioni delle funzioni elliltiche alla teoria deU equilibrio dei fili 
flessibili, Rendic. della R. Acc. delle Scienze di Napoli, 1892) ha trattato il caso generale, riducendo 
le forinole, quando la tensione sia positiva, alle funzioni ellittiche. 
