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si trova 
SV ò . . co dt'- 1 r^V" 
(9) >- — w ^('^cose) + — — -s Kt — 7r>7(ww ) + T-^(vcose) , 
che, scritto 2?'cos*e + ?)'sen'6 al posto di v', si riduce a 
(10) ^' + ^ I- (.^'sen^'e) _ -L (v _ :^«^sen^e) = -i- [T - co^WO] ^-^^ . 
Questa equazione, come le (6), (7), (8), vale qualunque sia il moto, purché 
esista la funzione delle forze. 
Se ora il filo si muove generando una famiglia di geodetiche, o, come diremo 
per brevità, si muove geodeticamente, si ha ' 
d 
^ (vcos 0) = 0 , 
e la precedente equazione diventa 
3V O) 3 1 <) / OD 
(11) ^ + 17 s- (v'sen^e) — ( V — — w^sen*e) = 0 . 
Poniamo 
y cos tìdf =- rfor 
e potremo dire scorrimento la quantità a =. ^ ^ncm^ii'^ essa è infatti il cammino 
fatto dal filo in virtù della sua velocità di scorrimento. Con questa sostituzione otte- 
niamo : 
(11) 1^- + ^ 5^ («'sen^O) - / V~w'sen^eWo . 
5. Supponiamo finalmente che il filo sia omogeneo: allora l'equazione (11) 
si potrà scrivere 
i(v + |.we)_^\(v-|„we) = o , 
e questa mostra che la quantità: 
(2V 4- ww*Ben'0)dCT 4- (2V — aju'sen'Ojrfs 
è il differenziale esatto di una funzione di or e di 5 , o se vogliamo , di a -f ó' e 
di a — s. Se adunque poniamo 
(12) U-f5 = Tl , a — S = £, 
avremo 
2Vt/ti + wj;»sen*ec/e = 2£?W , .' 
