d'onde 
Così vediamo che si può sempre esprimere linearmente ed omogeneamente nelle 
q", giacché le y dipendono solo dalle q e dalle q'. Questa formola, che non sarà 
qui utilizzata, è nota (sotto altra forma) nella Geometria differenziale classica, 
poiché per (^ = 0 lo (5) diventano appunto quelle che si soglion chiamare le 
equazioni caratteristiche delle geodetiche. 
Ora siamo in grado di esprimere anche le due curvature assolute, ossia la 
Jlessione 1/p e la torsione 1/r-, in funzione delle q e delle derivate di e-. Infatti 
dalle note uguaglianze 
„ cos6 senO „ 1 
m= , ^ = — , ^^ = 6' , ((0 
9 9 * 
nelle quali 6 rappresenta l'angolo della normale principale con la normale alla 
superficie, segue 
P" 
Dunque 1 p' é una funzione di , q^-, ^ , ^' t che ha la forma d'un trinomio del 
secondo grado in a"; ed V-o è una funzione di q^,q_^,a,G\a!"', in cui c:" compa- 
risce linearmente. E se si tien presente che <^ dipende linearmente da e' , si ri- 
conosce che nell'espressione di l/rp' la parte indipendente da n'" è un trinomio del 
secondo grado in a", mentre l'altra è il prodotto di a" per una funzione indipen- 
dente da a". Siamo perciò condotti a scrivere le equazioni intrinseche della linea 
sotto la forma 
-i 2pia" -t- V , = xcr'" -\- Lct'''^- 2Mct" ■\- N , (8) 
p- -t-p- 
con X,[i.,v,x,L,M,N funzioni di qt,q^, 
Che le ultime sette funzioni non siano arbitrarie, nò tra loro indipendenti, 
agevolmente si riconosce quando si cerca di ritrovare, partendo dalle (8), le espres- 
sioni delle curvature superficiali. Infatti, per la linearità di <^ in a", la prima 
delle (7) si spezza in 
V\ \- X 
e poiché dall'ultima delle (4) risulta che il coelficiente di a" in <ì) è — Da', si 
ha Utalòa = — l/T. Ora dalla (3), derivandola rispetto a a', segue 
Da D7 1 
ds, Ò-S |/X ' 
*) Bianchi «.Geometria dijj'erenziale i> p. 148. 
