— G — 
In particolare si ritrova (per 7=0) la nota forinola ") di Bonnet, che dà la 
curvatura geodetica delle linee c = costatile. 
Nelle formole precedenti abbiamo quanto basta per determinare le cinque fun- 
zioni fondamentali e la stessa a. Questa, considerata come funzione di q^ o ^, , 
può bensì esser presa ad arbitrio per la rappresentazione intrinseca d'una super- 
ficie nota; ma quando invece della superficie si dà la prima equazione (8), questa 
equazione porta in sè quanto occorre per la determinazione di cr, nè potrebbe aver 
senso se non vi si considerasse a sotto il duplice aspetto d'una ben determinata 
funzione delle q, che pur rimane inimitatamente arbitraria come funzione di s. 
Ciò premesso, dalle prime due formole (16 , che ci conviene qui scrivere per di- 
steso 
si ricava 
„ Da ÌDAj . , DA? òa 'dà<7 ^ òAa 
3^~ — -T — C09 J -1 — r — senj , 3—- = — — cos5 r — senj . (18) 
ponendo, per brevità, 2i = 5cos^ , /Act = cisen^. Queste funzioni 3 sono, come 
i ,J, li, funzioni note di ^, e Già si ò visto che anche A^ e una funzione nota 
delle ri\ ed altrettanto si può affermare di AA^ e di A'^. Infatti dalle (17), qua- 
drate e sommate, e dalT ultima delle (16), seguo 
AA7 = 5'.Acr , A'(7 = 2« -f /jAc7 . (19) 
Supponendo momentaneamente note le Q, osserviamo che per l'esistenza della fun- 
zione T, soddisfacente alle (18), si richiede che sia 
Ora dalle (18), per 5>0, si trae 
1 DAa Dj Do- 1 DAa Da ^ Da ^ 
a D.J Do-j D^j ' 5 Dv, D>', 
e poiché 
è questo pure il valore dell'espressione 
(l; + ^.)(l^"-+l^--)-(l; + ^.)(l'-^-|-^)' 
che per la (20) si riduce a 
A'a . seu^ + — co8^ — — senSr hr \- 1 — seni-f — cosi ) — 
\D.<j D/<, /D.., ' ' D", /D.-^ 
= -^('/A'- A'a-f — — + — 
') Bianchi « Geometria differenziale ■» \\ 175. 
