Dunque 
(Questa relazione, cui siamo pervenuti esprimendo che la (20) è soddisfatta, si può 
sostituire alla (20) come condizione necessaria e sufficiente per T integrabilità delle 
(18ì. Se poi si vuol procedere all'effettiva determinazione di bisogna fare scom- 
parire dalle (18) ciò che ancora vi è d'incognito, oltre ^, cioè il rapporto di Q, 
a . Del resto queste funzioni possono determinarsi entrambe aggregando alla 
(21) la prima equazione (19), e scrivendo dappertutto <),QD^ per ^^s. Dopo ciò le 
(15) permettono di calcolare anche ; e però, riserbandoci di esami- 
nare in seguito il caso eccezionale (3 = 0) lasciato in disparte, vediamo che la 
superficie resta determinata in modo unico nello spazio. Adunque offni superfìcie 
è individuata dalla totalità delle linee, che su di essa giacciono. la altri termini 
possiamo affermare che, se una superficie si risolve nell'insieme di tutte le sue 
linee, è vano tentare di ricomporre queste linee in xm' altra superficie. Ciò è del 
resto evidente, poiché V infinità delle linee giacenti sopra una superficie non è nu- 
merabile, mentre le linee comuni a due superficie non sovrapponibili sono tante 
quanti i modi d" intersecarsi , ossia una sestupla infinità. 
Prima di andare oltre conviene insistere nell' osservare che il calcolo delle 
cinque funzioni fondamentali è stato eseguito in base alla conoscenza della sola 
prima equazione (8), che si può ben chiamare V equazione intrinseca della super- 
Jicie , giacché basta da sola per definirne la forma. Come ciò avvenga è facile spie- 
garsi riflettendo che il secondo membro deirequazione stessa compendia le due forme 
quadratiche, che nella Geometria differenziale classica portano il nome di forme 
fondamentali. Grazie, infatti, all'arbitrarietà di 7, ed. alla conoscenza del modo 
come z deve comparire in , si è visto come si possa nell' espressione di 1 p' se- 
parare la seconda forma fondamentale (^) da ciò che si riferisce esclusivamente 
alla prima (^): e come dal confronto dell'espressione così ottenuta per con 
quella che dà la prima delle (13 , possano dedursi f.fjjt : e finalmente come si 
calcoli anche mediante la seconda formola (13). Ricavate così le funzioni 
^,(5 dall'espressione di l,?, la seconda formola (7) può direttamente sommini- 
strare l'espressione di I r ; ma riesce talvolta piìi comoda la formola 
(- -f- "e)^ -f y 4- e>V = 0 , 
che si deduce dalle (6 derivando la prima e tenendo conto delle altre. In un modo 
0 nell'altro l'equazione che si ottiene è sempre la seconda equazione (8), che si 
può stabilire anche valendosi delle (14). Divenuta superflua, come si è visto, nella 
rappresentazione della superficie, essa è tuttavia indispensabile per rappresentare, 
nello spazio, le linee giacenti sulla superficie; e però ben le si può dare il nomo 
di equazione intrinseca sossidiaria. 
