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§ 2. Riferimento alle geodetiche. 
Riprendiamo il caso escluso (5 = 0) , ed anziché evitarlo cerchiamo di trarne 
profitto per giungere al piiì semplice modo di rappresentare intrinsecamente una 
superficie qualsiasi. Non si ha 5 = 0 se non quando sono nulli ad un tempo i 
e /, nella quale ipotesi le (19) diventano 
AAa = 0 , A-a = AA(r . 
La prima ci dice che Act è costante; e poiché non può essere A7=:0, altrimenti 
sarebbe costante anche ct, si può sempre supporre che sia A(7 = l. Dunque *) le 
linee c z=z costante attraversano ad angolo retto un sistema di geodetiche (t = co- 
stante), e a misura appunto l'arco di tali geodetiche. Se queste ultime si assu- 
mono come linee -7,, e per conseguenza le prime come linee ^, (sicché y,=5, ?,=t, 
Q,=l), il quadrato dell'elemento lineare prende la forma da' -\- Jt'dr', con R fun- 
zione di 7 e di T : e si ha 
d'onde R = e^''''^% a prescindere da un fattore, funzione di t, che si può fissare 
a piacimento, cambiando t, se occorre, in una conveniente funzione di t. Intan- 
to, sia per la prima delle (9), sia per l'ultima delle (13), l'espressione della cur- 
vatura geodetica si riduce alla forma semplicissima 
q - —-^ +v.]^i- a' , (22) 
y 1 — a' 
ed inoltro si vede che dev'essere ii = — k, sicché, nel caso attuale, p. non di- 
pende da rs . Del resto la (22) potrebbe anche dedursi dall'ultima delle (4) osser- 
vando che, per la prima delle (2) , si ha cos co =:<?', e d'altra parte 4f,=0 , — v- 
Ciò premesso, l'equazione intrinseca della superficie è 
■4 = -^,-f2pLa'+v , (23) 
P 1 — a' 
con |i, giova ripeterlo, indipendente da a'. Questa funzione jjl(5,t) è unica per 
tutte le superficie applicabili sopra una superficie data, le quali si distinguono 
le uno dalle altre soltanto per l'espressione di ^{a ,x Infatti, poiché si ha 
R = c~-^"''', l'elemento lineare ha un'espressione unica sulle infinite superficie 
rappresentate dall'equazione (23) per una data funzione ii(a,T). Ben s'intende 
però che a questa compete un certo grado di limitata arbitrarietà, dovuto alla li- 
* i IJ i a n c 1; i <: (ieomctrid differenziale ■> p. 155. 
