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vendosi dell'espressione (14) di N. Lo (29) per = quando vi si pensa t de- 
finita in funzione di s mediante la (28), diventano le equazioni infrinseche delle 
trajettorie ortogonali delle geodetiche a. Quanto alle altre linee notevoli, per de- 
terminarle basta procurarsi la funzione C7 di 5, per cui è soddisfatta la definizione 
delle linee stesse. Co^^ì per le assintotiche e per le linee di curvatura bisogna porre 
uguale a zero l'una o 1" altra espressione 
9^ = fa'- .jo )' 1 — J'V h - / . ^ = .7?''+ f^' f i - o"- fJ ■ ^30) 
Se l'equazione che in tal modo si ottiene vien derivata rispetto ad s, tenendo conto 
della relazione (26), e se fra le due equazioni si elimina t, si giunge ad un'e- 
quazione in (7,c7 , c', dalla quale con una prima integrazione si ricava 'j' espressa 
in funzione di ? e d'una costante arbitraria a; poi, con un'altra integrazione, 
c (e per conseguenza t) in funzione di 5 e di a Le e.;uazioni intrinseche delle 
predette linee contengono dunque una costante arbitraria. Per le geodetiche se ne 
trovano due, perchè trattando nel modo testé descritto l'equazione differenziale di 
queste linee, cioè :7"+ii(l — 7-) = 0, si perviene ad un'equazione differenziale del 
terzo ordine in a , indipendente da s. 
Prendiamo a considerare, come esempio, una superficie sviluppai ile, assumendo 
a linee a le generatrici rettilinee. La prima formola (27) mostra che per qualun- 
que superficie rigata dev'essere h=—\^f, e per conseguenza H=— /, K— — ' ^y-, 
sicché le (24) e la (25) diventano 
Di queste la seconda conduce a porre YCg=2r), con v funzione della sola t; poi 
la terza ci dà, disponendo convenientemente del parametro t, 
, d'onde Il^ = ,>_c7r+f% 
con u funzione della sola t ; e dalla prima si deduce . /! Affinché la superficie sia 
sviluppabile (K=0) bisogna inoltre che si abbia g=0, e per conseguenza pimO; 
quindi R=n — - , ;t — 1 R , Ry'— -^(t). Ora dalie (29), ponendo ed u=(f{T), 
si ha 
9(t) — g _P_1^ 'k^l 
dove T è definita in funzione di s mediante la (28), che nel caso attuale diventa 
ó' -f- rtT =3 f<f(T)dT. Dalle trajettorie ortogonali delle generatrici, così determinate, 
si deduco lo spigolo di regresso osservando che l'elemento lineare e l'angolo di 
contingenza di questa linea sono ds,^ = du, a^^ — dz, mentre l'angolo di contin- 
genza delle trajettorie è &=y i -\- <\i'(T)dT\ e d'altra parte, poiché le tangenti a 
queste linee son parallele alle normali principali dello spigolo di regresso, nei 
punti corrispondenti, si ha, per calcolare l'angolo di torsione, £„' -f T],/=e', d'onde 
