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scun punto, la somma dei quadrati delle curvature assolute lia un valore costante 
per tutte le geodetiche concorrenti nel punto stesso. Quando poi si elimina a fra 
le (35Ì, 0 pure s fra le (33), si trova la conferma d'un fatto già osservato *), 
che cioè tanto le geodetiche quanto le linee di curvatura dell'elicoide rigato ad 
area minima appartengono alla classe delle curve definite da una relazione del 
quarto grado fra le curvature. 
§ 3. Equazioni con unico elemento arbitrario. 
Proponiamoci di trovare tuU' le superficie rappresentabili mediante un'equa- 
zione intrinseca , la quale racchiuda , come la (32) , un solo elemento arbitrario. 
Quando \ì. (e per conseguenza Ti) non dipende da t , il d.s^ prende la ben nota for- 
ma d^' (f {■:)d-:' , e però la superficie è rotonda, o applicaoite sopra ima siiper- 
Jicie rotonda. Se poi anche v è indipendente da t , altrettanto si può affermare di 
J\gji, e per conseguenza di , s'I?, , . Dunque '*^) un'equazione intrinseca 
della forma p = <I>[a , a") non paò definire che un elicoide. Ciò si stabilisce an- 
che osservando che l'equazione sussidiaria si presenta necessariamente sotto la for- 
ma r=: Y(j , 3 , 3 ", a") , d'oudo seguo che ogni linea t ha le curvature costanti, 
vale a dire che la superficie possiede un sistema di eliche circolari , geodetica- 
mente parallele. Cerchiamo ora di precisare la forma della funzione ^ deducen- 
dola dalla conoscenza dell'unica funzione R = 9(a). In primo luogo si ha 
H = — (pYa) / 9 (a) , K = — <p"(ct)/ 9 {a) ; 
poi le* (24) diventano 
-f - - '/ì /) = - li/ , -7^ = Spi^/ , (36) 
(io tic 
e da queste con un calcolo facile, tenendo conto anche della (25), segue 
£ [ i^' + - V. ff -f '\.'f I = 2[i I v^- + - V. ff + 'f I . 
vale a dire che la funzione 4- {li — ' 2,/")"+ V.,<7' soddisfa, come y, alla seconda 
equazione (36). Ne risulta, ricordando l'espressione di che le dette funzioni sono 
entrambe proporzionali ad 1 R'. Siccome poi la prima funzione non può, per una 
superficie curva , ridursi a zero, è lecito supporla uguale ad I R'", togliendo da t, 
se occorre, un fattore costante, per attribuirlo ad R. Abbiamo dunque 
i, = 2a/li^ , pt^-l-(A_7^/)^ + V^^'-:=l,R= , (07) 
con a costante. Dopo ciò si vede che le (29) , equazioni intrinseche delle eliche , 
diventano 
_1_ 1 1 _ a 
*) <- Malhenh » Mars, IftOO. 
Bianchi « Geometria differenziale^ p. 195. 
