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Per ciascun valore costante, attribuito a a, queste equazioni rappresentano un'e- 
lica, che taglia sotto un angolo di coseno o R le generatrici d"un cilindro cir- 
colare, di raggio VR' — a'. In particolare per a = 0 queste curve si riducono a 
circoli di raggio U, paralleli sopra una superficie rotonda. Nondimeno bisogna 
notare che, se vogliamo limitarci ai soli procedimenti della Geometria intrinseca, 
nulla fin qui ci autorizza ad affermare che questi circoli e queste eliche costitui- 
scano effettivamente una superficie rotonda o un elicoide, poiché non si è dimo- 
strato che le varie eliche debbano avere il medesimo asse. Ma questa lacuna sarà 
colmata fra breve ; e si vedrà che il metodo intrinseco ha in sè quanto basta per 
giungere alla conoscenza completa d'una superficie, e delle linee che possono ge- 
nerarla. 
Per trovare l'equazione intrinseca della superficie ci resta da determinare k 
ed y. Ora dalla seconda formola (37) si ricava 
j - 
V[i — <p' — 
poi la (25) dà — ' {h -f ' ,/) = K + 'ìj- , d'onde si trae 
<p'(a)(p"((7) — a- 
È in nostro potere di fare scomparire l'ambiguità del segno. Infatti ed 
A — 1/,/* sono i valori delle curvature ed ì5Iì>j , alle quali è sempre lecito cam- 
biare simultaneamente il segno, purché si cambii anche il segno di t. Se adot- 
tiamo il segno inferiore, le ultime due formole ci dànno, sommate, l'espressione 
della curvatura media 
^_ 9(a)q)'Yj) + 9'7g)— 1 _ ^^^^ 
poi se ne deduce, sottraendole l'una dall'altra, 
r<prg)9» - 9'V) + l]if\a) - 2a'- 
(f\cr)}/[l — 9'Vl9'(cy)-«' 
Note così y,A in funzione di <p , ? , 9 , si è in grado di scrivere l'equazione 
intrinseca della superficie. Quanto alle geodetiche s , le loro equazioni intrinseche 
sono , per le (27) , 
1_ 9'(.)y»-a« 1_ a_ 
P 9^(.)V/[l-9'%)J?^W-c' ''^ 
Le equazioni intrinseche delle linee giacenti sopra una superficie non bastano 
