- 16 — 
per una discussione completa e precisa della superficie e delle linee stesse, consi- 
derate in quanto si trovano insieme a costituire la superficie. Alle predette equa- 
zioni bisogna aggregare le varie condizioìii immohilità , le quali servono appunto 
a studiare la superficie nei suoi vincoli con altri enti geometrici, fissi nello spazio. 
Nel caso d'un elicoide è sopratutto utile conoscere la posizione dell'asse nel trie- 
dro fondamentale delle varie curve o della superficie. Siano «eri coseni degli 
angoli che l'asse fa con la tangente alla linea che si vuol considerare, e con la 
normale alla superficie; e ricordiamo che per l'invariabilità della direzione, de- 
finita dai coseni a , ^ , t , sono necessarie e sufficienti le condizioni 
Anche senza nulla conoscere del modo come le eliche trovate in principio, deb- 
bono esser messe insieme per formare la superficie, noi possiamo tentare di sod- 
disfare alle (40) con funzioni a,p,T, indipendenti da t, e prevedere che, se si 
riesce in tale ricerca, la direzione così determinata è quella dell'asse comune a 
tutte le eliche , purché si riesca anche a determinarne analogamente le altre coor- 
dinate %,f\,X>- Occupiamoci in primo luogo della sola direzione, e cominciamo 
dal notare che y, non vincolato alle infinite linee che passano per ciascun punto, 
non può dipendere da c'; ne dipendono invece a e p, in modo particolarissimo, ed 
anche prevedibile, ma che noi qui vogliamo dedurre unicamente dalle (40). Se 
nelle prime due si uguagliano tra loro i coefficienti di 3", si ottiene 
Da 8 a 
y 1 — a 
d' onde , posto i' = — 1 , successivamente si trae 
l'I 
con n e v funzioni della sola (s. Ne segue 
/ 2 /' ^ 
a=i(C7'-|-r|/ 1 — c' . p = rcr — ?'.| 1 — (7 . 
Evidentemente u e v sono i coseni degli angoli che la direzione (a , p , r)^ fa con 
le tangenti alle linee coordinate, ed era perciò prevedibile che dovessero risultare 
indipendenti da o\ Intanto le prime due condizioni (40) si riducono a 
e per a' = 0 ci danno 
*) « Geometria intrinseca > p. 153. 
