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si deduce S = — a-^ , e per conseguenza p = — au ,q = — -f R. Sostituendo poi 
questi valori nelle espressioni di è e di ri , si trova finalmente 
4= — «a -j- 1 — a' , Yi = — ap + Ea' . 
Si noti che il quadrato della distanza d'un punto qualunque all'asse è dato da 
-|- ^' + ?'=R' — come abbiamo già avuto occasione di asserire per ogni sin- 
l/ola elica, senza però esser sicuri dell" immobilità dell'asse nello spazio. 
Ora siamo in grado di trovare e discutere qualunque linea notevole della su- 
perficie. Già si è visto come si possano avere le eliche t e le geodetiche a. Per 
trovare le sezioni fatte nell" elicoide con piani perpendicolari all'asse basta porre 
a = 0 , e ricavarne a' per sostituirlo nelle formole atte ad esprimere le varie cur- 
vature. Partendo invece dall'equazione 4 = 0 si ottiene il profilo dell" elicoide ; e 
similmente , partendo da ^ = 0 o da '5 =: 0 , si trovano le assintotiche e le linee 
di curvatura. Si perviene così, in ciascun caso, ad una ben determinata coppia 
di equazioni intrinseche. Quanto alle geodetiche, una prima integrazione dell'e- 
quazione (|=:0 dà ^&Q\\w = costante (estensione del teorema di C lai r a ut); poi, 
conoscendo in funzione di a, si può da una parte determinare a in funzione 
di 5, e dall'altra servirsi delle formole precedenti per calcolare le curvature l/p=2>X9 
ed l/r. = — 'S in fuazione di a, e per conseguenza di s. In tutti i casi scompa- 
risce dunque una costante arbitraria ; e ciò si deve al fatto che non vi e più da 
tener conto della (2G), poiché a,4,£^, ecc. sono indipendenti da t. Geo- 
metricamente ciò si spiega osservando che ciascuna delle curve testé menzionate 
può esser trasportata elicoidalmente salla superficie senza perdere la proprietà che 
la caratterizza in rapporto alla superficie stessa. 
Terminiamo con un'applicazione di quanto precede alla notevole classe degli 
elicoidi di area minima. Affinchè riesca H =. 0 la 38) ci dice che si deve pren- 
dere 9( j) = ^'G' + ; ma per non confondere la nuova costante a con quella che 
già comparisce nelle formole precedenti, scriveremo in queste «senA al posto di 
a. Innanzi tutto si noti che le (39) diventano 
pcosA = n -\ , — r.senA = a -\ , 
a a 
e rappresentano, in generale, un'elica non circolare, che per A=0 si riduce ad 
una catenaria, e per k.— ^'.^n ad una retta. Si ha dunque un catenoide per A=0, 
ed un elicoide rigato per A = ''Ì^Tt. Siccome poi i>. non dipende da A, si vede che, 
fissato a, se si fa variare A da 0 ad V.,'^, gli infiniti elicoidi corrispondenti ai 
valori intermedii di A sono appunto le forme che un velo flessibile ed inestendi- 
bile va assumendo quando dalla forma iniziale d'un catenoide passa, con defor- 
mazione continua, a quella d'un elicoide rigato. In seguito potremo limitare la 
variazione di A all'intervallo predetto, perchè due valori come A e — A indivi- 
duano due elicoidi dotati delle medesime proprietà intrinseche, sebbene un eli- 
coide sia destrorso e l'altro sinistrorso. Ciò promesso, dalle formole precedente- 
