mente stabilite risulta 
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<J 2aco3A 2asenA 
poi le (30) ci dànno 
»coa(A4-2(o^ ^ ^96n(A + 2a)) ^ ^^^^ 
CT* -{- e* CT" -f- ' 
mentre i^, indipendente da A, conserva l espressione (31). Inoltre 
' a- n- (a- -f- «-)- 
E questa l'espressione che bisogna scrivere al posto dell'ultimo termine in (32), 
per ottenere l'equazione intrinseca degli elicoidi di area minima. In particolare 
per A = \^v: si ricade sulla (32), e per A = 0 si trova V equazione intrinseca del 
catenoide: 
1 a"* 2(7(7" (1 — <7'*)(a- — 4aV') + fl* 
^9 5 I 5 j /_<> i <>■»-) 
P l—u cr-4-(r (a--\-a-y 
Dalla forma stessa dell' espressione (44) ci vien rivelata l'esistenza di curve 
notevoli fra le trajettorie delle geodetiche' a sotto un angolo costante w ; e le (43) 
ci dicono inoltre che fra queste trajettorie si trovano anche le assintotiche {èr^=fò) 
e le linee di curvatura ( S =: 0). Per tutte queste curve l'equazione intrinseca del- 
l'elicoide diventa l p' = v, e l'equazione sussidiaria si riduce, mediante un cal- 
colo facile, alla forma 
1 a' sen w -j- a* cos (A + 2(o)sen(A -4- Stoì , , , 
=: cos ( A -4- co) , (46) 
a* ((7- + «-)(a'sen^a) + «-cos'(A + 2oj)) ^ ^ ^ ^ 
dove per a bisogna porre 5Cosw. Ne segue immediatamente che vi sono lìnee j^iane 
semplicissime su ciascun elicoide, giacché per co=i'.^« — A si ha l/t- = 0, eia 
(44) dà subito = a' -\- S' -\- a')tg' A. Siccome poi la prima delle (42) dà a = 0, 
si vede che le curve trovate sono le sezioni fatte nell'elicoide con piani perpen- 
dicolari all'asse. L'espressione (44 si semplifica anche per a) = '^ff — '3A, ed 
co = Vj« — '/jfAdrTr), e conduce a scrivere la prima delle equazioni 
0,0 , cr/r. sen'to 
p- = a^ -f + a-joolo) , r- , 
p- 2 C'OSO) 
mentre dalla (45) segue la seconda. Tutte queste curve hanno dunque, come quelle 
già incontrate nel § 2, sull'elicoide rigato, la torsione proporzionale al quadrato 
della Jlessione. Se poi si vogliono le linee di curvatura basta porre a) = ',^(iT — A), 
0 pure vì — T. — '/jA, in 144) e (45), per trovare equazioni analoghe alle (33); 0 
