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Una delle maggiori difficoltà che si presenta in questo argomento sta nella 
grande complicazione dei calcoli, giaccliè lo stesso calcolo simbolico, clie nel campo 
binario ha servito indubbiamente ad abbreviare e a far giungere assai avanti 
nella determinazione dei sistemi completi, nel campo ternario invece presenta diffi- 
coltà pratiche di gran lunga maggiori e rende servigi , in proporzione , assai 
minori. 
Un qualche vantaggio può dunque presumersi riducendo le nostre considera- 
zioni a calcoli nel campo binario, seguendo cioè un ordine di idee da cui prese 
le mosse ripetutamente il Brioschi nei suoi molti lavori sulla teoria delle forme 
e specialmente in quello intitolato: Studii analUici sulle curve del 4.^ ordine {Ann. 
di Matematica (2) t. VII, 1875-76; Ojìere Matematiche, t. II, p. 141). 
In questo lavoro T illustre Autore immaginò la forma biquadratica ordinata 
secondo le potenze di x^, e prese in diretta considerazione le binarie in ^, , ó", 
che formano i coefficienti di queste varie potenze ; ogni covariante della forma ter- 
naria sarà covariante del sistema di queste binarie. Questa idea tanto semplice è 
degna di essere sfruttata assai piiì di quel che non sia stato fatto finora; nean- 
ch' essa è priva alle volte di rilevanti difficoltà , ma in molti casi è feconda di 
risultati. 
Le forme di quart' ordine che considera specialmente Brioschi nel lavora 
succitato non sono però le generali , ma quelle in cui compaiono solo le potenze 
pari di ; nella presente Memoria, io, prendendo invece in considerazione il caso 
delle quartiche generali, mi propongo appunto di applicare largamente il suddetto 
metodo, pur non trascurando, quando mi si presenta l'occasione, come p. es. nella 
seconda parte laddove tratto della formola di Brill, di adoperare il calcolo delle 
forme ternarie. 
Ciò mi dà occasione di trovare una serie di altri risultati ausiliarii , come 
p. es. la ricerca del sistema completo di tre forme binarie di ordine 2, 3, 4, il 
completamento di alcuni teoremi di Clebsch, ecc., che non sono direttamente ri- 
sultati relativi alla ternaria biquadratica, ma che, dal nostro punto di vista, sono 
indispensabili per costruire la teoria completa di questa forma. 
Il mio lavoro è diviso in due parti ; nella prima parte mi occupo, seguendo 
specialmente l' indicato punto di vista, del sistema completo della quartica. 
Dopo avere riassunto i risultati di Maisano e di Gordan, passo ad occu- 
parmi delle forme invariantive della quartica espresse come forme invariantive del 
sistema di tre binarie degli ordini 2, 3, 4; trovo le equazioni differenziali cui 
esse devono soddisfare da questo punto di vista, e determino indi il sistema com- 
pleto di tre binarie degli ordini 2, 3, 4, sistema non ancora conosciuto. 
Per tale ricerca prendo le mosse dal sistema di una forma di 4° e una di 
3.° ordine, che fu studiato parecchi anni fa da Gundel finger, e la cui determi- 
nazione dette anche luogo ad alcune pubblicazioni di Sjlvester, e applico il me- 
todo che si trova nella classica Opera di Clebsch: Theorie der binàren algeh, 
formcn, Leipzig, 1872, per ampliare un sistema completo quando alle forme fon- 
damentali si aggreghi una quadratica. 
Trovo pertanto che i teoremi che dà Clebsch sono suscettibili di notevoli 
perfezionamenti, e dimostro infatti parecchi teoremi ausiliarii, coi quali si ha il 
