— 11 - 
e un covariante o contravariante di f, ordinato secondo le potenze di ovvero ri- 
spettivamente di U3 , risulta un' espressione i cui coefficienti sono covarianti del si- 
stema medesimo. 
Ciò può ritenersi come ovvio; infatti una trasformazione lineare delle sole va- 
riabili a^^cr^, lasciando inalterata la t^, è una trasformazione lineare particolare 
delle tre variabili cc^x^x^ , e per essa un invariante di / deve restare inalterato, a 
meno di una potenza del modulo; dunque quell'invariante deve essere tale anche 
del sistema delle tre binarie. 
E evidente d' altra parte che non ogni invariante di « , P , r è invariante di 
y; perchè ciò sia, devono intanto essere soddisfatte certe relazioni facili a trovarsi 
fra i gradi in cui nell' invariante entrano i coefficienti di ciascuna binaria , e 
inoltre devono essere soddisfatte certe equazioni differenziali che dovranno essere 
opportune trasformazioni di alcune di quelle, cui come è noto, soddisfa un inva- 
riante di una ternaria. 
Il primo problema che ci proponiamo è pertanto la ricerca di queste equazioni 
differenziali. 
Se un termine dell'invariante di f lo rappresentiamo con 
dove gli indici superiori p^, , ji, , 1*3 . fi^ rappresentano i gradi del termine nel coef- 
Jiciente a, e in quelli di y, di di « rispettivamente, fra i numeri \i sussistono le 
relazioni 
\ 1^1+ + 1^3 + l^i = 3|X 
dove V- può avere qualunque valore intero positivo. 
In effetti , la prima di queste relazioni non dice altro se non che il grado 
dell' invariante nei coefficienti di /, è sempre un multiplo di 3, come risulta te- 
nendo presente per esempio la rappresentazione simbolica dell'invariante mediante 
determinanti simbolici ternari. 
La seconda delle (3) si ottiene poi nel seguente modo: 
Se 3|i è il grado nei coefficienti , il numero dei determinanti simbolici ( il 
peso) deve essere — ^^-=4{x; quindi con una trasformazione lineare delle 
r invariante deve restare moltiplicato per la potenza di 4]!.™* del determinante 
della trasformazione stessa. 
Se moltiplichiamo in /, la x^ per una indeterminata t, veniamo a fare una 
trasformazione lineare di determinante t, onde l' invariante deve risultare molti- 
plicato per Ma il moltiplicare per t corrisponde a moltiplicare a per t\ 
Y per t\ ^ per ^, onde tutto il termine (2) resterà moltiplicato per la potenza 
4fij + 2|i^ -f 1JL3 di t, e dal paragone risulta la seconda delle (3). 
Dalle (3) risulta 
211,4- 3|X3 + 4tA, = Fji 
