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La VII, può scriversi (posto J eguale alla somma di tanti termini (2)): 
Vi 'l's 1 » 
Per effetto della prima delle (3) l'ultimo termino è 4|a, cioè, come abbiamo 
detto di sopra, il peso di J, e quindi si vede che la precedente relazione diventa 
esattamente una di quelle quattro (che del resto, come si sa, non sono indipen- 
denti) cui deve soddisfare un invariante del sistema delle tre binarie « , p , y. Le 
altre tre sono V, VI, e infine quella che si ottiene da Vili con una modificazione 
simile a quella cui si è assoggettata la VII. 
Resta cosi ancbe dimostrato di nuovo che un invariante di y è invariante del 
sistema delle tre binarie a,P,Y, come si era detto in principio di questo paragrafo. 
Delle nove equazioni caratteristiche non resta quindi da considerare che solo 
le prime quattro , fra le quali eliminando le due derivate , si deducono 
. "Pio . *^"oi 
due relazioni fra le derivate di J rispetto ai soli coefficienti di « , p , y. 
Si ha 
'l'i 
'l'i 'l'i 
e un' altra relazione analoga che per ora è inutile scrivere. 
Se ora in luogo dei coefficienti effettivi introduciamo per un momento i coef- 
ficienti simbolici, cioè poniamo 
-i.i =?i'~'p^ . T.o^Ti' . ?i,,i-i = ?l'?y\ ru = r.Y. 
riconosciamo subito che il coefficiente relativo al primo sommatorie nella prece- 
dente equazione è il coefficiente di x^Kr^- nel prodotto ISyj^p^', diviso per il coef- 
ficiente binomiale ^^^j* 
Similmente il coefficiente relativo al secondo sommatorie è quello di x^^x^* in 
9T,r.,r..' — 
diviso per quindi infine l'equazione differenziale diventa: 
dove in generale col simbolo 2 (n^"*) intendiamo il processo di Aronhold 
pel quale si deriva rispetto ai coefficienti della forma co, e si moltiplica ciascun 
termine per il coefficiente omonimo dell'altra forma n del medesimo ordine. L'altra 
relazione che si ottiene è quella ricavata da questa, mutando l' indice 1 nell'in- 
