- 15 - 
dice 2 , per modo che , introducendo due quantità arbitrarie , moltiplicando 
le due equazioni per e y, c sommando si ha infine l'equazione unica: 
P) 122(T,V.P..') ^ + 2 (»T.r-T/ - ««.O ^ - 2<.2(f A') ^ =0 • 
Si trova dunque il risultato che un invariante .1 di f, considerato come inva- 
riante del sistema delle tre Vinarie « , ^ , y , soddisfa ad un' equazione differenziale 
il cui primo membro è in sostanza la somma di tre processi di Aronhold operati 
nel noto modo fra le forme rispett. 
ISYJxPx' e di 4.0 ordine 
^TJxTx'* — e ondine 
— 'ìa^J^J e -^J- di 2." ordine 
E da osservare che la forma di 3." ordine che prende il posto di una g,' è la 
polare di 
(8) ■ 9(T./)'-««.^ 
la quale espressione s' incontra in alcune ricerche riguardanti la quartica terna- 
ria /'; così p. es. la (8) eguagliata a zero rappresenta le quattro tangenti doppie 
passanti per a-, =: 0 , = 0 della curva di 4." ordine f— 0, ma pel caso in cui 
in / sia g = 0 *). 
Inoltre 1' annullarsi della (8) insieme a p = 0 è condizione necessaria è sufi&- 
ciente perchè la f= 0 si riduca ad una conica doppia, come fece vedere lo stesso 
Brioschi **). 
§ 4. — Le equazioni differenziali per i covarianti misti. 
Passiamo ora a considerare il caso di un covariante di f e per porci da un 
punto di vista più generale supporremo che si tratti di un covariante misto con- 
tenente le due serie di variabili contragredienti x^x^x^,u^uJl^. 
Ai primi membri delle equazioni differenziali I, IX, bisogna, come si 
sa, aggiungere dei termini in cui figurano le derivate rispetto alle x a u, q pro- 
priamente i seguenti : 
DJ , DJ 
DJ DJ 
*J Vedi Brioschi, Studi analitici sulle curve di 4P ordine. Ann. di Mat. (2), t. VII; Op. mat., 
n, p. 141, [p. 151]. 
♦*) Brioschi, Atti Lincei (2), t. Ili, 1875-76, p. 91. Vedi anche più avanti, parte seconda 
di questa Memoria. 
in I. 
in II. 
in ni. 
