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Le forme trovate superflue da Svlvester e che erano state considerate da 
G un del finger erano le tre: 
OT)»(QT)^Q^T,^ (3,4,0,2) 
{Tuf{Tu'f-Tj (3,4,0,2) 
(p«)0(7)p., (4,5,0,1) 
§ 6. — Introduzione al sistema di u.vta biquadratica, di una cubica, e di una 
QUADRATICA BINARIE. AGGIUNTE AD ALCUNI TEOREMI DI ClEBSCH. FORMAZIONI 
LINEARI IN Y- 
Per trovare ora il sistema di una biquadratica, di una cubica e di una qua- 
dratica binarie, che ci è utile per lo studio della biquadratica ternaria, ci ser- 
viremo dei risultati contenuti nel § 56 della classica Opera di Clebsch ( Tk. d. 
Mn. alg.formen, Leipzig, 1872, p. 193 e seg.) laddove si studia il modo con cui 
al piti si amplia un sistema completo quando alle forme fondamentali si aggrega 
una quadratica y- 
Il risultato di Clebsch non lo possiamo però prendere come definitivo, giac- 
ché noi vi faremo alcune interessanti aggiunte colle quali si mostrerà che alcune 
formazioni che secondo i risultati di Clebsch, sarebbero da includersi, sono in- 
vece da trascurare. 
Il risultato di Clebsch è il seguente 
1. Per ogni forma A di ordine pari 2h, basta considerare le spinte seguenti. 
1.* e 2.* spinta di y su A 
3.» 0 4.* > j su A 
(2fc — l)"'a e (2/.>a spinta di y'' su A. 
2. Per ogni forma A di ordine dispari 2k — 1 basta considerare le spinte 
l.'' e 2.* spinta di y su A 
3.* e 4.* » » Y' su A 
2k — » » y'' su A. 
3. Il prodotto di due forme A , A' è 'in quanto ad operare su esso spinte 
di potenze di y da considerarsi in un caso solo e cioè quando ambedue le forme, 
che possono supporsi anche eguali, sieno di ordine dispari, 2k — \ ,2k' — 1, e 
allora c'è da considerare solo la spinta {2k -f 2k' — 2)""" di y*"*"'"' su A A', il cui 
risultato è naturàlmeute un invariante. 
4. Se A è un determinante funzionale di due forme di ordini r q s (am- 
bedue maggiori di 1 *j, sono allora ancora da trascurarsi fra le precedenti spinte 
la l.a di Y su A 1 
3_a di gii f se r e j* sono ambe.lue pari e 
l 2t = r -t- « — 2 
la (2fc — l)'na di Y* su A I 
Quest'aggiunta non è stata inserita da Clebsch nel suo teorema, ma è tacile riconoscere 
che per la sussistenza di esso, nessuna delle due forme può essere lineare. 
