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tutti i valoH di k tali che 2k sia sempre minore dell' ordine di A, e anche per il 
valore di k eguale alla metà dcW ordine di A, nel caso in cui questo sia pari, e 
anche s sia pari. 
Di questo teorema faremo presto delle applicazioni. 
6. La seconda aggiunta che vogliamo fare al risultato di Clebsch è la 
seguente. 
Si è detto nel N." 4 che fra le formazioni da includere c' è anche la spinta 
di ordine (2/^ + 2/^'- 2) di r*^"'-' sul prodotto A- A' in cui A e A' sieno due 
forme di ordini dispari 2k — 1 ,2/^' — 1. 
Ora, prima di tutto, bisogna osservare che se A , A' sono due determinanti fun- 
zionali di ordini dispari, allora il loro prodotto per una formola nota *) si scinde 
in termini di cui ognuno è prodotto di tre fattori dei quali perciò almeno uno è 
di ordine pari\ ciò però, come risulta dalla predetta formola, quando tutte le quat- 
tro forme di cui si considerano i determinanti funzionali sieno di ordine mag- 
giore di 1. 
Quando poi tali ordini sono l'unità aggiungiamo la seguente considerazio- 
ne : i casi che possono presentarsi sono o che una delle quattro forme sia di 1.** 
ordine o che lo sieno due , e propriamente una di quelle che compongono A e una 
di quelle che compongono A' (non potendo darsi che ambedue le forme che com- 
pongono A sieno lineari). Ora se una sola delle quattro forme è lineare il teorema 
sussiste ancora. 
Sia infatti 
A = (<p4^) , A' = fy»-//-'v~' ; 
dovendo A , A' essere di ordini dispari , sarà m pari e dei due numeri p , q sarà 
uno pari e uno dispari ; sia q pari e p dispari maggiore di 2. 
Possiamo allora scrivere: 
e il secondo termine è già scomposto nel prodotto di due fattori di ordini pari y 
perchè m è pari, mentre il primo termine con la identità : 
si scinde in tre termini di cui il primo contiene per fattore ^ , il secondo ^ , e 
il terzo x?» tutte tre di ordine pari. 
Se due delle quattro forme sono lineari il teorema sussiste ancora purché però 
fra queste ve ne sieno almeno due eguali. Se infatti è 
A = (9+)V-' , A' = (9^.V-' 
in cui m e q sono pari, applicando al prodotto A A' T identità che dà, come so- 
pra , il valore di 
*) V. Clebsch, p. 119. 
