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si trova die tal prodotto f^i scompone in tre termini di cui ognuno ha un fattore 
di ordine pari ; e se infine è 
ponendo 
il prodotto A A' si riduce ad un termine che ha per fattore <\i (di ordine pari), e 
al termine 
contenente il fattore 9"/ di 2.° ordine. 
Ma quando un termine del prodotto AA' contiene un fattore di ordine pari 
2pi , allora la spinta {2/i + — 2 / "" di esso su y''"^' contiene una parte che si 
spezza rella spinta 2|ji.'"" di quel fattore su y*^, e nella spinta dell'altro fattore 
sulla restante potenza di v; la formazione di cui si tratta può essere sostituita 
da parti decomponibili ed è perciò da trascurarsi. 
Onde : 
Per la formazione del richiesto sistema completo ampliato, nel costruire le 
(2k -j- 2k' — 2)""' spinte dei prodotti di due forme A , A' di ordine 2k — 1 , 2k' — 1 , 
del sistema dato, su y'^''"', bisogna trascurare i pt'^^odotti AA' in cui A e A' sicno 
ambedue determinanti funzionali , salvo che le 4 forme di cui A , A' sono deter- 
minanti funzionali, sieno tutte diverse e contemporaneamente due di esse sieno li- 
neari. Quindi p. es. i quadrati di A 0 di A sono sempre da escludersi. 
Ma si può dire ancora dippiiì : 
Se la forma A contiene in m determinanti simbolici , il simbolo di un de- 
terminante funzionale di due forme 9,4^ di ordini di cui una può anche es- 
sere lineare, (5^1) mentre l'altra sia di ordine r'^m, allora, ragionando come 
abbiamo fatto di sopra , alla forma A può sostituirsi la 
c^((9xy''x,*-"9,,'-'S'V) 
che è un determinante funzionale. 
Supponiamo poi che A' 0 sia addirittura un determinante funzionale, ovvero 
si trovi a sua volta nelle stosse condizioni di A e quindi ad esso possa sostituirsi 
un C che sia un determinante funzionale. 
Al prodotto AA' può allora sostituirsi il prodotto CC perchè questo differisce 
evidentemente da A A' 0 per forme che si decompongono in più di due fattori 
(e queste non devono considerarsi nella formazione del richiesto sistema completo 
ampliato) ovvero per prodotti di A 0 A' per altre forme del sistema completo pri- 
mitivo ( non ampliato ) ( e tali ultimi prodotti s' intendono già considerati nella 
formazione del sistema ampliato). . 
Ma al prodotto CC può applicarsi il teorema precedente e quindi trascurarsi 
l'invariante che da esso si ottiene, spingendolo con una opportuna potenza di y, 
purché non si verifichi quell' unico caso di eccezione di cui si parla nel teorema 
medesimo, onde abbiamo il teorema: 
