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In tutto dunque esistono non piit di 40 formazioni di 3° grado in t , e pro- 
priamente : 
1. 38 invarianti. 
2. 2 covarianti lineari. 
Le formazioni di 4" grado in r risultano in un modo solo, e cioè facendo le 
8* spinte di sui prodotti dei tre covarianti cubici P » ?>)'' per ciascuno 
dei due quintici della tabella del § 5. 
Si hanno cosi sei invarianti di cui 
1 di primo grado in a. 
2 di secondo grado in ix. 
2 di terzo grado in a. • 
1 di quarto grado in a. 
Le formazioni di quinto grado in v non sono da considerarsi, perchè in forza 
del solito teorema, sono decomponibili. 
Riassumendo abbiamo dunque che il sistema completo di tre binarie degli 
ordini 4, 3, 2, risulta al piil di 
1. 268 invarianti. 
2. 50 covarianti lineari. 
3. 25 covarianti quadratici. 
4. 15 covarianti cubici. 
5. 8 covarianti biquadratici. 
6. 2 covarianti quintici. 
7. 1 covariante sestico. 
In tutto 369 formazioni. 
Nel seguito di questo lavoro, servendoci dei calcoli riguardanti la quartica 
ternaria, troveremo delle relazioni (sizigie) fra le forme di questo sistema completo, 
e altre fra le forme del sistema trovato da Gundelfinger. 
§7. — Espressioni, mediante le forme invariantive del sistema delle tre bi- 
narie , degli invarianti , covarianti e contravariakti di 2° e grado 
della quartica ternaria. 
Alcune delle formazioni di cui si parla nel titolo furono calcolate da Briosch i, 
il quale se ne servì per varie applicazioni. 
Così in una breve Nota in Atti Accad. Lincei (2), t. Ili, 1875-76, p. 91 (Opere 
Mat. t. Ili, p. 349), il Brioschi dette la espressione dell' Hessiano A (v. § 1), 
che egli poi applicò per ricavare le condizioni necessarie e sufficienti perchè la 
quartica piana si riduca ad una conica doppia; tali condizioni potevano però trovarsi 
