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con un metodo diretto affatto elementare e senza ricorrere all' Hessiano , come 
faremo vedere più avanti , quando tratteremo della decomposizione della quartica 
(V. § 18). 
Nell'altro lavoro: Siudii analitici sulle curve del 4" ordine {Ann. di Mai. (2), 
VII, p. 202, Opere Mat, v. II, p. 141) lo stesso Autore calcolò il contravariante a 
(v. § 1), e inoltre molte altre formazioni, ma queste ultime per il caso in cui sia 
p = 0 , che è il caso da lui quasi esclusivamente considerato in quel lavoro. 
In questo paragrafo ci proponiamo di completare appunto i calcoli del Brio- 
schi, anche in vista di alcune applicazioni che dobbiamo fare nei paragrafi se- 
guenti. 
Cominciamo dalle formazioni di 2° grado. 
Il a calcolato dal Brioschi *) è 
a = «o* = («^«)* = (« , - S(« , + 12[(« , T)' — [P , ^JW — 2i(T , + 2a« + 6y' 
dove naturalmente per (« , p)' s' intende la terza spinta di « e p ma scritta nelle 
variabili u^u^, cioè s'intende così similmente tutte le altre forme bi- 
narie che compaiono nel secondo membro intendono espresse in u^ , . 
L'altra forma di 2° grado è [ahuYa' h',^, che è: 
E calcolandola mediante le formazioni invariantive di « , fi , y , si trova : 
+ H(ym.r • - iv^y • p)^3 + (2(««)^«.^y/ - 20u)'p, . + • • 
Delle forme di 3" grado calcoleremo l' invariante A e il contravariante / che 
Brioschi calcolò solo pel caso di P = 0; 1' Hessiano A fu invece già calcolato 
completamente da Brioschi, per quanto con un errore di segno nel penultima 
termine. 
Esso si potrebbe dedurre dalla forma precedente, moltiplicando questa per • 
indi mutando , «3' ^l^ u'\ nei coefficienti di / (v. più sotto). 
Si ha così : 
A = SaftXj" + 12amx/ + S(iaw + 2an — 3AY).r,,* 
4- 6(2aw — 6/«Y + 2//p).r/ + 
+ 3{ak — B-^w -f Ua — Gfn — 2m^)x^' + 
4- 6(2«ì« — 2wp — wp)x3 -i- 3(y^ 4- aw — 2^w) . 
*) È bene avvertire che la formola data dal Brioschi è per — (aftw)* che da lui è indicato 
con a. 
