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Passando ora ai termini che formano i coefficienti di o^^ e si ha : 
(«T)' («a')'a'a.* = {k , Y)' + ^ (»»)'' • Y 
o 
(oP)' («Y) (Py)«,,. - ((« , 3)' , y)' + j (T . 1>) • 
Colle formole (1) , (2) , (3) , (4) i coefficienti di s diventano funzioni dei soli 
covarianti e invarianti fondamentali del sistema completo delle tre binarie, e si 
ha la espressione definitiva (per le notazioni , vedi i § 5 e seg.) : 
« = I 4a . / . a -f 12 ?■ . y' — 72 . . (y , P ,) — i8wn -\- 24w' -f 24w' } 
+ x, j48.a(^•,p)* + 8a.^.p + 96(p,Y).Y^-144(a,YV•^^-144((«,^)^Y)^Y+96(Y,p).Y- 
— 144(m;, y)*. 3 + 48 w. ni I 
-f X,' ! 48 a{I: , y)^ + 16 a . i . Y — 48 «(«; , a)' + 144(a , Y*)* . Y — 48 n . — 288(w; , y)* • Y — 
— 24m; . A + 96w* j 
+ x,-^ \ 9G a ((a , , y)' + 32a (y , i>) + 48 «i . /*[ 
4- x.; \ 4a' . / + 24(1 (or , y')* + 24^*^ j . 
Questo covariante s differisce, per un termine decomponibile, dal noto e impor- 
tante covariante S di Clebsch (Creile, t. LIX) la cui espressione simbolica è: 
S = (abc) (abd) (acd) (bcd) ajh^cji^^ , 
e che ha, come si sa, molte notevoli proprietà; così p. es. è stato dimostrato che le 
sole quartiche per cui S si riduce al prodotto A./* sono la quartica di Klein 
(v. § 2) e la conica doppia *). Inoltre se la quartica è esprimibile come combi- 
nazione lineare di cinque potenze quarte di forme lineari , la curva S = 0 passa 
per i 10 punti d' incontro di queste cinque rette a due a due. 
Si presenta pertanto utile determinare la relazione che ci deve essere fra S e ^ 
e questa relazione si deve poter determinare colle note e ordinarie trasformazioni 
del calcolo simbolico. Ma queste nel nostro caso si presentano non semplici , per 
cui preferiamo determinare la suddetta relazione in altro modo. 
Il covariante S è stato calcolato da Briose hi (Op. Mat., II, p. 149) nel so- 
lito caso particolare di ? = 0 , e da tale espressione risulta che 1' S calcolato da 
Briose hi manca del termine in a\ mentre invece il nostro precedente s con- 
tiene un termine solo in e cioè 4:0^ ix^. 
Intanto dall' ispezione del sistema completo della quartica, risulta che non può 
essere che 
dove c, , sono due coefficienti numerici, perchè non esiste che un solo covariante 
*) Ciani, Rend. Circ. Mateui. di Palermo, t. XIV, 1!)00, p. 16. 
