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Passiamo infine all' invariante B = (uaVy. 
Per trovare B basta mutare in s le variabili ce nei coefficienti di a = {aòuy, 
cioè mutare: 
in 2oa/-f 6y,'yV 
x.^'x^, in 6(yP)t,P,' 
x,'x^' in 2(aY)^«/- 2(p^TP,P', 
x^x^^ in 2(a^fa^ 
•r,'* in (aot'y . 
Si hanno quattro categorie di termini : 
1) termini senza e questi con opportune modificazioni, come diremo piìi 
sotto, devono coincidere con quelli calcolati da Brioscbi, il quale al solito si 
limitò al caso di 3 = 0; 
2) termini senza « e questi si riducono ad uno solo; 
3) termini senza y e anche questi si riducono ad uno solo; 
4) termini in « , ^ , y- 
Si ha, eseguendo i calcoli e le riduzioni : 
B = 12a- . i- + lUa . i . (a , f}' + 4Sa . J . h . — Ui ih , f}' . /, 432 [(a , y')']'^ + 72 . * . h' + 
+ 144 . a. (o,«;-j''+ll . 144 [(w,y)']'— 166a . ((/.■,mj)^y)'— o2tl.^.(^^rf)^J-264a.((p7^),Y)' — 
- ™ {{P , , y)' • - 1632 (vTfY- . {ari' - ((^^ , af . y)' • - 192 (co • p , y')' • 
1 
Per giungere a questa espressione definitiva di B mediante gli invarianti 
compresi nelle tabelle dei §§ 5 e seguenti, occorrono alcune formolo che noi stabi- 
liremo per comodità dei lettori. 
Prima di tutto, dalla prima delle (4) in cui si sia mutato y in w, si deduce : 
(8) ((XY)' (aa'f f^^')- (a'^) (a'^'j = {'t . wf , y)- + / • (u-yf . 
Inoltre un altro termine che si presenta è: 
(yj («'P')' (««') («Vj (P'y) = {kP , ^) ' y)' — y (2^Y)' • 
Ora la prima di queste formazioni non fa parte delle tabelle del § 6 perchè 
(p , w) non fa parte del sistema di Gundelfinger , potendosi esprimere mediante 
i covarianti quadratici del sistema medesimo. Cerchiamo allora una tale espri- 
mibilità. 
Scambiando nel primo membro di (9) in cui si sia mutato y in a con 
