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L' invariante B della quartica ternaria qui calcolato non è quel noto inva- 
riante di 6° grado che, secondo le ricerche di Liirotli *) , ha intimo rapporto 
colla rappresentabilità della quartica ternaria come somma di quarte potenze di 
forme lineari, e che, sempre per il caso assai più semplice di P — 0, fu calcolato 
da Brioschi (Op. Mat. II, p. 148) espresso per gli invarianti di a,Y, e da lui 
chiamato E ; noi però chiameremo quest' ultimo B, , per nou confonderlo con un 
altro del § seguente. 
Si presenta quindi opportuno di trovare la relazione fra B e B,, e ciò faremo 
servendoci della seguente osservazione. 
L'invariante B, , come si sa, si esprime mediante le derivate quarte di ./,• è 
cioè un determinante di 6° ordine i cui elementi sono le derivate quarte di 
(divise per 4! , disposte in modo che su ciascuna linea o colonna sieno sempre 
fissi due degli indici delle variabili rispetto cui si deriva. 
Ora ponendo sotto la nostra solita forma, è chiaro che un elemento solo del 
determinante risulta eguale ad a , e nello sviluppo non potrà riuscire alcun ter- 
mine in a\ mentre che B contiene un termine in a'. 
D'altra parte poiché di invarianti di 6° grado non ne esistono che due, cioè 
B ed A', così B, non potrà che essere della forma: 
= cB -f c'A- , 
e una relazione fra c , e, si trova subito facendo che la combinazione del secondo 
membro non contenga termini in a\ il che dà 
i.-: -f = 0 : 
servendosi poi senz'altro della formola di Brioschi per il valore di B, , e pa- 
ragonando i coefficienti del termine in a.^.h (che, tenendo conto delle diverse 
. . 1 . 
notazioni nella formola di Brioschi, viene ad avere il coefficiente — ) si ha: 
1 
•iSo - — 
1-2 
e quindi infine 
g [2. — I TRE INVARIANTI DI 9° GRADO DELLA QUARTICA TERNARIA. 
Dimostrazione della loro indipendenza. 
Alla fine del § 3 del lavoro più volte citato (v. § 1) il Malsano trova il 
risultato che di invarianti indipendenti di 9° grado ne esistono a/ ^id tre e cioè: 
c = ('/ "/ 
ma non dimostra che tali inmrianii sono veramente indipendenti. 
*) Math. Ann. I, p. 37-53. 
Atti — Voi. XII- Serie £»- N.° 13. ^ 
