PARTE SECONDA 
Le condizioni per le decomposizioni in fattori della quartica ternaria. 
Sulle decomposizioni in fattori delle forme ternarie è stato finora molto poco 
studiato. Del caso della cubica ternaria il Brioschi si occupò in due Note, iu 
una delle quali [ Amiali di Mai., (2), t. VII. 1875-76, p. 189; Op. Jlaf., II. p. 137) 
trattò della decomposizione in tre rette completando quanto aveva già scritto Sal- 
mon sul medesimo soggetto, e nella seconda (Alti Lincei, (2), t. Ili, 1875-76, 
p. 89; Oj). Mat., Ili, p. 345) trattò della decomposizione in una retta e una co- 
nica. Delle decomposizioni della cubica ternaria si occuparono poi ancora Tliaer, 
Mat/i. Ann., t. XIV, p. 54-!., e Bes, Matk. Ann., t. LIX. p. 77. 
Lo stesso Brioschi infine in una terza breve ì^otdi {Atti Lincei , (2), t. Ili, 
1875-76, p. 91; Op. Mat., t. Ili, p. 349) trattò della riduzione della ternaria 
biquadratica in una conica doppia. 
Il metodo che il Brioschi adopera in questi tre lavori è uniforme e prende 
il punto di partenza dallo studio dell' Hessiano della ternaria, il quale come è 
noto , nei casi indicati , acquista speciali forme. 
All'illustre Autore però forse sfuggì che per il caso della decomposizione della 
biquadratica ternaria in conica doppia, si può giungere alle condizioni da lui ot- 
tenute in un modo affatto elementare ed ovvio, e senza ricorrere ali" Hessiano, e 
gli sfuggì anche 1' osservazione che le condizioni da lui trovate , devono essere 
surrogate da altre in un certo caso particolare (v. più sotto § 18 , nota). 
Nei paragrafi che seguono , noi studieremo altre decomposizioni della biqua- 
dratica , e lo faremo servendoci dello stesso metodo dell' Hessiano adoperato dal 
Brioschi; premetteremo perciò un teorema generale suU' Hessiano di una ter- 
naria che si scinda in fattori, teorema cho comprende quelli adoperati da Brio- 
schi nei tre lavori succitati. 
La condizione necessaria e sufficiente perchè una ternaria di ordine qualunque 
si scinda in fattori tutti lineari fu studiata nel 1893 da Brill {Gótt. Nach. , 
Die. 1893) e indi da Gordan {Math. Ann., t. 45, p. 410), ma tale condizione 
è espressa naturalmente sotto una forma involuta , il cui calcolo nei casi speciali 
presenta difficoltà che bisogna superare volta per volta. 
Io ho pensato di adoperare il risultato generale di Brill per giungere, sotto 
forma definitiva, alla condizione per la scomponibilità della biquadratica in quattro 
