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Similmente, adoperando la medesima identità precedente, si lia: 
{qhcYq--^b^'^~'c--\ i) =- - 4 ( J'5?')'9x~-''?'.v"-' •!>.'/+ ~ (9?''/') V-'?'./-"? . , 
n on" 
onde infine si ha la formola : 
(3) — (i>j<i,'i)-'f-\ 3 (q,'i,q) 'p 
la quale dimostra 1' assunto , anche nel caso in cui 1' ordine di uno dei fattori 
sia 1. 
Colla successiva applicazione di questo teorema si ha che se una ternaria f si 
scinde in piti fattori, il suo Hessiano risulta di tanti termini di cui uno ha per 
fattore f, c (jli altri sono i prodotti delV Hessiano di ciascun fattore per il cubo del 
prodotto degli altri. 
Dalla formola (3) risulta facilmente il teorema noto *) che se f si scinde 
in n fattori lineari, V Hessiano A,., ha per fattore i stessa-^ infatti supposto il teo- 
rema vero sino all' ordine n — 1, il {q,q,q^ avrà per fattore q, e quindi avrà 
per fattore /'. Intanto per n~2 il teorema può dirsi vero perchè è A^=:0, come 
si sa, e come del resto risulta da (3) stessa. 
Combinando questo teorema con la formola (2) risulta che se f conitene per 
fattore j) che si scinda in r fattori lineari, avrà per fattore p. 
Similmente dalla formola (2) risulta T altro teorema anch" esso noto , che 
se f contiene un fattore multiplo p , A^. contiene per fattore p. 
Infatti supposto prima che sia p — w " in cui co sia una forma lineare , e 
sia per il teorema precedente avrà per fattore^;. Se poi w non è li- 
neare, allora per la (2) ripetutamente applicata, A^^ si comporrà di m + 1 termini 
di cui i primi m sono tutti eguali a Au-w"'""" e T ultimo ha per fattore^. Ma 
per w>> 1, è 3m — 3 >» m, e quindi anche i primi hanno per fattore w"' cioè p. 
Se ora si suppone che ./' abbia per fattore p — w"\ allora poiché A, ha per 
fattore /), per la (2), A^. avrà anche per fattore p. 
Si potrebbe dimostrare, come ha fatto Segre (loc. cit.) che i casi in cui p si 
scinda in r fattori lineari, ovvero sia la potenza m"'* di una forma u, sono i soli 
in cui abbia per fattore p. 
È bene osservare che i quattro termini dei quali si compone il <p della for- 
mola (2) non sono fra loro indipendenti , perchè quadrando ambo i termini del- 
l' identità : 
(<i<ip)p'x — (q(i'p')P:c=^(i>p'q')qx- — {pp'q)<ix 
e moltiplicando per opportune potenze di p,ìP,.',qj,-,q\:-, si ha una relazione li- 
neare fra i quattro suindicati termini. 
*) V. p. 08. Sogre, Lt molteplicità nelle intersezioni delle cwvs piane ecc. Giorn. di Batt. t. XXXV'I, 
S 25. 
